用 Python+Numpy+scipy 執行 Matlab 的矩陣計算 2 產生 numpy 的 數組, 矩陣點乘 等
Published in 線性代數矩陣計算、微積分與數論, 2025
用 Python+Numpy+scipy 執行 Matlab 的矩陣計算 2 產生 numpy 的 數組, 矩陣點乘 等
“Talk is cheap. Show me the code.”
― Linus Torvalds
老子第41章
上德若谷
大白若辱
大方無隅
大器晚成
大音希聲
大象無形
道隱無名
拳打千遍, 身法自然
20200706
本系列文章之連結
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link用 Python+Numpy+scipy 執行 Matlab 的矩陣計算 5 矩陣特徵值等不變量計算 link
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用 Python+Numpy+scipy 執行 Matlab 的矩陣計算 7 解線性方程組 迭代法: Jacobi iterated,Gauss-Seidel 等 link
文章目錄
- 本系列文章之連結
- 以下直接以例子講解
- Python 的 原生 list(串列 or列表) 是最常用的放資料的容器, 用 [ ] 包住就是
- 產生 numpy 的 數組: np.array(), (Matlab: [1,2,3; 4,5,6])
- 產生 numpy 的 數組: 各類特殊矩陣: 零矩陣、都是1的矩陣、 單位矩陣(對角線為1之矩陣)、 取用對角線矩陣、 上三角矩陣
- 改變形狀 np.reshape()、 np.resize() (Matlab: reshape(1:6,3,2))
- np.array()的元素可以是那些？
- 為何不用 Python 的 原生 list 來執行類似數組的操作?
- A 的長寬高 A.shape(), A 的元素個數 A.size (Matlab: size(A), length(A))
- A 的維度有幾維 A.ndim (Matlab: ndims(A))
- 矩陣相乘
- 矩陣點乘
- 矩陣點除
- 矩陣複製
- NumPy 的 速查簡表
- NumPy 與 Matlab, R, Octave 等的對照速查簡表
- References
以下直接以例子講解
以下例子會同步將原生 list 與 numpy 模組 的 np.array() 兩種作比較, 可能讀者剛讀會有點混淆, 只要注意, 有 np. 開頭的就是numpy 模組 的 np.array() , 沒有就是指 原生 list.
Python 的 原生 list(串列 or列表) 是最常用的放資料的容器, 用 [ ] 包住就是
Python 的 原生 list: [a,b,c,d,…\dots…]
>>> [1,2,3,4,5]
[1, 2, 3, 4, 5]
>>> type([1,2,3,4,5])
<class 'list'>
Python 原生最簡單產生數列的方式: range(start, end, stride) ( Matlab: start:stride:end)
range(1,6) 會產生 1,2,3,4,5
>>> range(1,6)
range(1, 6)
>>> type(range(10))
<class 'range'>
他是一個 跌代器 iterator, 為了提高效能, 不會印出來, 要看他的內容, 要用 for loop print 印出來
>>> for i in range(1,6):
print(i)
1
2
3
4
5
>>> for i in range(1,6,2):
print(i)
1
3
5
如果要由大到小 用
令 b>a, range(b,a,-1) 會得到 b,b-1,a+1
例如 range(10,5,-1)
>>> for i in range(10,5,-1):
print(i)
10
9
8
7
6
NumPy 數組 np.array 最簡單產生 numpy 數列的方式: np.arange(start, end, stride) (Matlab: start:stride:end)
產生 a 到 (b-1) 間格 間格 gap, 之 等分點, 可以用以下指令, 指定間格寬度為 gap
np.arange(a, b, gap)
就是
np.arange(start, end, stride)
arrange 是 array range 的意思, 是 numpy 的指令, 初學容易跟原生的 range 混淆
>>> np.arange(1,6)
array([1, 2, 3, 4, 5])
>>> np.arange(1,6,2)
array([1, 3, 5])
>>> type(np.arange(1,6))
<class 'numpy.ndarray'>
# 反轉
>>> np.arange(10,5,-1)
array([10, 9, 8, 7, 6])
- 以下可以等進階時再細看
Python 的 原生 list 做 copy 要小心
Python 的 原生 list 可以放 list在裡面, 可以是較複雜的,
例如 以下, a 串列的元素有純量, 有 list, 也有 dict (字典),
>>> a = [1,2,3,[4,5,6],'abc',{'a':1,'b':2,'c':3}]
>>> a
[1, 2, 3, [4, 5, 6], 'abc', {'a': 1, 'b': 2, 'c': 3}]
註: 因為Python 的 原生 list 可以放一層一層的資料容器在內, 在copy 時會出現不預期的狀況, 後面介紹深拷貝跟淺拷貝, 有點繁瑣, 建議第一次閱讀, 可以跳過.
如果只是要拷貝某個 aList 內容, 不想跟原來的 aList 會有連動, 就用
import copy
aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()
執行深複製, 全部(各層)不連動, 避免產生不預期的狀況.
- 以上可以等進階時再細看
list 的 擷取元素與切片 (indexing 與 slicing)
>>> aList = [1,2,3,4,5]
>>> aList
[1, 2, 3, 4, 5]
取用 aList 的其中一個元素, 我們稱為 indexing, 取用第 index 個元素
特別注意 Python 的所有資料的容器(例如 list) 下標是從 0 開始
( Python, C, JavaScript 下標是從 0 開始
Matlab, R 下標是從 1 開始 )
>>> aList[0]
1
>>> aList[1]
2
取用 aList 的其中一段元素, 我們稱為 slicing (slice 切片)
所謂 slicing 語法, 是指 n:m 語法
>>> aList[1:3]
[2, 3]
>>> b = aList[1:3]
>>> b
[2, 3]
b 是 aList 的 slice, a 改變, 不會影響 b
( Python 的 list 之 slice 不會連動)
(注意: np.array()的 slice 會連動)
>>> aList[1]=22
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> b
[2, 3]
Python 的 list 不能用 真假值或整數 list 取切片
但是 np.array 可以用 真假值或整數 之 np.array 或 lis 取切片
請參考後面 fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動
>>> aList
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> aList[[0,2,4]]
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#76>", line 1, in <module>
aList[[0,2,4]]
TypeError: list indices must be integers or slices, not list
- 以下可以等進階時再細看
list 複製
Python 深淺拷貝, 只差在第二層以上
當 list 中含有 list 時, 深淺拷貝才會有差別
*aCopy1=aList[:] 淺複製, 只有第一層不連動
aCopy1=aList[:]
當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會連動
>>> aList = [1,22,3,4,5]
>>> aCopy1 = aList[:]
>>> aCopy1
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy1[0]=2
>>> aCopy1
[2, 22, 3, 4, 5]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
對於 aList 是 list 含有 list 時
>>> aList = [1,2,3,4,[1,2,3]]
>>> aCopy = alist[:]
>>> aCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[4][0]=11
>>> aList
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]
>>> aCopy
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]
aCopy=aList.copy() 淺複製, 只有第一層不連動
aCopy=aList.copy()
當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會連動
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy=aList.copy()
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy is aList
False
>>> aCopy == aList
True
>>> aCopy[0]=2
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, 5]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
當 list 中含有 list 時, 如果只改變 list 中的 list 的一個元素 時, 淺拷貝還是會連動
當 aList 改變 list 中的 list 的一個元素 時, aCopy 也跟著改了
>>> aList = [1,22,3,4,[1,2,3]]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aCopy=aList.copy()
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[0]=2
>>> aList
[2, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
# 當 aList 改變 list 中的 list 的一個元素 時, aCopy 也跟著改了
>>> aList[4][1]=0
>>> aList
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4] == aCopy[4]
True
>>> aList[4] is aCopy[4]
True
>>> aList[0] is aCopy[0]
True
>>> aList is aCopy
False
# 當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會改
>>> aList[0]=3
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
當 aList 改變 list 中的 整個 list 時, 淺拷貝不連動
如果把 list 中的 list, 整條換掉, 似乎指向 list 中的該 list 的位址就改變了,
就把 aList[4] 與 aCopy[4] 的關聯脫鉤了!
( 如果只是更改 aList[4][1], 則 aList[4] 與 aCopy[4] 仍是同位址)
>>> aList[4]=[11,0,33]
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [11, 0, 33]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4][1]=2
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [11, 2, 33]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4] is aCopy[4]
False
- 以上可以等進階時再細看
深複製, 全部(各層)不連動
import copy
aDeepCopy=copy.deepcopy(aList)
>>> import copy
>>> aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#39>", line 1, in <module>
aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()
AttributeError: 'builtin_function_or_method' object has no attribute 'deepcopy'
>>> aDeepCopy=copy.deepcopy(aList)
>>> aDeepCopy
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aDeepCopy is aList
False
>>> aDeepCopy == aList
True
即使 aList 是一個 list 中含有 list, aDeepCopy是深複製得來的, 它還是, 各層都不會與 aList 連動
>>> aList = [1,2,3,4,[1,2,3]]
>>> aDeepCopy = copy.deepcopy(aList)
>>> aDeepCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[4][0] = 11
>>> aList
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]
>>> aDeepCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]
複製但連動, 完全一樣
用等號 aListRef = aList, 其實是得到完全一樣
>>> aListRef = aList
>>> aListRef
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aListRef == aList
True
>>> aListRef is aList
True
產生 numpy 的 數組: np.array(), (Matlab: [1,2,3; 4,5,6])
對照: 劉正君, 3.4
>>> import numpy as np
>>> A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]);A
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6]])
>>> B = np.arange(11,17);B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
>>> B.reshape(3,2)
array([[11, 12],
[13, 14],
[15, 16]])
產生 numpy 的 數組: 各類特殊矩陣: 零矩陣、都是1的矩陣、 單位矩陣(對角線為1之矩陣)、 取用對角線矩陣、 上三角矩陣
ref: 劉正君, 3.6. 3
zeros filled array 零矩陣 (Matlab: zeros(3,5))
>>> a = np.zeros(5)
>>> a
array([0., 0., 0.,>>> a1 = np.zeros([5,5])
>>> a1
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.],
[0., 0., 0., 0., 0.]]) 0., 0.])
# 注意, 維度用 [5,5] 包住
>>> a1 = np.ones(5,5);a1
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#5>", line 1, in <module>
a1 = np.ones(5,5);a1
File "C:\Users\user\AppData\Local\Programs\Python\Python38-32\lib\site-packages\numpy\core\numeric.py", line 207, in ones
a = empty(shape, dtype, order)
TypeError: data type not understood
ones filled array 1矩陣 (Matlab: ones(3,5))
>>> b = np.ones(5)
>>> b
array([1., 1., 1., 1., 1.])
>>> b1 = np.ones([5,5])
>>> b1
array([[1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1.],
[1., 1., 1., 1., 1.]])
any number filled array 任意數字填滿矩陣 (Matlab: ones(3,5)*9 )
>>> b2 = b1*3
>>> b2
array([[3., 3., 3., 3., 3.],
[3., 3., 3., 3., 3.],
[3., 3., 3., 3., 3.],
[3., 3., 3., 3., 3.],
[3., 3., 3., 3., 3.]])
identity array 單位矩陣(對角線矩陣) (Matlab: eye(3))
>>> c = np.eye(4)
>>> c
array([[1., 0., 0., 0.],
[0., 1., 0., 0.],
[0., 0., 1., 0.],
[0., 0., 0., 1.]])
>>> c1 = np.identity(4)
>>> c1
array([[1., 0., 0., 0.],
[0., 1., 0., 0.],
[0., 0., 1., 0.],
[0., 0., 0., 1.]])
給定 np.array a 取用a 的對角線 (Matlab: diag(a), diag(a,0))
>>> a
array([[1, 2, 3],
[4, 5, 6],
[7, 8, 9]])
>>> a_diag = np.diag(a)
>>> a_diag
array([1, 5, 9])
>>> a_diag2d = a_diag*np.eye(3)
>>> a_diag2d
array([[1., 0., 0.],
[0., 5., 0.],
[0., 0., 9.]])
隨機數組 (Matlab: rand(3,4))
>>> a_rand = np.random.rand(3,4)
>>> a_rand
array([[0.65543729, 0.32649166, 0.21621299, 0.58931067],
[0.7932652 , 0.35415987, 0.83885435, 0.02375679],
[0.01526737, 0.95740181, 0.36366563, 0.66846968]])
改變形狀 np.reshape()、 np.resize() (Matlab: reshape(1:6,3,2))
注意: 使用 reshape()時, 原array沒改變!
>>> B=np.array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
>>> B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
# 將 B reshape() 後的 array指定給 B1
>>> B1 = B.reshape(2,3)
>>> B1
array([[11, 12, 13],
[14, 15, 16]])
# B 原 array 沒改變
>>> B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
注意 A.reshape 後指定給另一個名稱, 例如 A_reform, A 與 A_reform 會連動,
>>> A = np.arange(1,11)
>>> A
array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
>>> A.reshape(2,5)
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9, 10]])
>>> A
array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10])
>>> A_reform=A.reshape(2,5)
>>> A_reform
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 8, 9, 10]])
>>> A_reform[1,2]
8
>>> A_reform[1,2]=18
>>> A_reform
array([[ 1, 2, 3, 4, 5],
[ 6, 7, 18, 9, 10]])
>>> A
array([ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 18, 9, 10])
注意: 使用 resize()時, 原array會改變!
>>> B2 = np.resize(B,(3,2))
>>> B2
array([[11, 12],
[13, 14],
[15, 16]])
>>> B
array([[11, 12],
[13, 14],
[15, 16]])
用 B2 = B.resize(3,2)會出錯
>>> B2 = B.resize(3,2)
>>> B2
>>> B2[0]
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#46>", line 1, in <module>
B2[0]
TypeError: 'NoneType' object is not subscriptable
np.array()的元素可以是那些？
基本上就是整數、浮點數、複數、字串等
>>> np.typeDict.values()
dict_values([<class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>])
如果元素是 list, 或是 np.array 的類型,也可以
>>> a=np.array(['a','b',[1,2]])
>>> a
array(['a', 'b', list([1, 2])], dtype=object)
>>> a=np.array(['a','b',np.array([1,2])])
>>> a
array(['a', 'b', array([1, 2])], dtype=object)
>>> a[0]
'a'
>>> a[2]
array([1, 2])
為何不用 Python 的 原生 list 來執行類似數組的操作?
Ans:
- NumPy 的 array 是用 C 的 知名線性代數工具庫 去計算, 而 list 的效能並沒有用 C 優化,
- NumPy 的 array 允許用真假值(布林值)或整數 之 list 或 真假值(布林值)或整數 之 np.array 做下標集, 提取內容, 但 list 無此功能
有關上面 2. 的測試:
產生一個 Python 的 原生 list
# 產生一個 Python 的 原生 list
>>> aList = [0,1,2,3,4,5]
>>> aList
[0, 1, 2, 3, 4, 5]
# 定義一個真假值(布林值) list
>>> booleanIndex = [ True, False, True, False, True, False]
# 用真假值(布林值)做下標集, 提取
# 出現錯誤訊息, 顯示, list 的 下標集只能用單一整數或是 slices 切片(用 n:m 語法）
>>> aList[booleanIndex]
Traceback (most recent call last):
File "<pyshell#3>", line 1, in <module>
aList[booleanIndex]
TypeError: list indices must be integers or slices, not list
產生一個 np 的 array, 用跟上面一樣的真假值(布林值) list: booleanIndex 去提取內容, 發現可以!
>>> import numpy as np
>>> aArray = np.array([0,1,2,3,4,5])
>>> aArray
array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
>>> aArray[booleanIndex]
array([0, 2, 4])
>>>
請參考後面 fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動
A 的長寬高 A.shape(), A 的元素個數 A.size (Matlab: size(A), length(A))
array (或matrix) 常需要維度的訊息
>>> A.shape
(2, 3)
>>> np.shape(A)
(2, 3)
>>> len(A)
2
>>> B.shape
(6,)
>>> B1.shape
(3, 2)
>>> B2.shape
(2, 3)
>>> A.size
6
>>> np.size(A)
6
A 的維度有幾維 A.ndim (Matlab: ndims(A))
以下Ａrray 有3維
在操作線性代數時, 有時會需要知道該數組的維度有幾維
>>> aArray = np.array([[[1,2,3],[4,5,6]],[[7,8,9],[10,11,12]]])
>>> aArray
array([[[ 1, 2, 3],
[ 4, 5, 6]],
[[ 7, 8, 9],
[10, 11, 12]]])
>>> aArray.ndim
3
此時 A 與 B1的維度相合, 就可以進行矩陣相乘
矩陣相乘
- 在 Matlab 中是用 A * B1,
- 在 numpy中用 numpy.dot(A, B1), 或是
numpy.matmul(A,B1)
np.dot(A,B1) array([[ 82, 88], [199, 214]]) np.matmul(A,B1) array([[ 82, 88], [199, 214]])
矩陣點乘
- 在 Matlab 中是用 A .* B
在 numpy中用 A*B
B2=B.reshape(2,3) B2 array([[11, 12, 13], [14, 15, 16]]) A*B2 array([[11, 24, 39], [56, 75, 96]]) np.multiply(A,B2) array([[11, 24, 39], [56, 75, 96]])
矩陣點除
- 在 Matlab 中是用 A ./ B
在 numpy中用 A/B
A/B2 array([[0.09090909, 0.16666667, 0.23076923], [0.28571429, 0.33333333, 0.375 ]])
矩陣複製
np 中最常出錯的是對一個array 做 copy 的動作
ref: Scipy lecture notes, Edition 2020.1: sec 4.1.6 copy and view
**ref: 何敏煌, Python 程式設計實務, sec 6.3.5: a is b **
如果直接用 A1= A
則得到一個完全一樣的 A, 只是多一個別名叫 A1 而已,
此時你改變 A1, 就等於改變A, A 與 A1 都指向同一個位址
>>> A1 = A
>>> A1 is A
True
>>> A.shape
(2, 3)
>>> A1.shape
(2, 3)
>>> A1.shape=(3,2)
>>> A1.shape
(3, 2)
>>> A.shape
(3, 2)
>>> A
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>> A1
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>> id(A)
60451360
>>> id(A1)
60451360
切片是 view 會連動
view 是(淺層)拷貝 (shallow) copy
取 slicing 就是 view
當 S 是 A 的 slice, 改變 S, 也會改變 A, 會連動
>>> A
array([[1, 2],
[3, 4],
[5, 6]])
>>> S = A[:,1]
>>> S
array([2, 4, 6])
>>> S[:] = 10
>>> S
array([10, 10, 10])
>>> A
array([[ 1, 10],
[ 3, 10],
[ 5, 10]])
copy(), id()
copy 是(深層)拷貝 (deep) copy
D = A.copy(), 則D 的資料與 A 一樣, 但是, 位址不同, 改變D, 與 A 無關!
>>> D = A.copy()
>>> D
array([[ 1, 10],
[ 3, 10],
[ 5, 10]])
>>> D is A
False
>>> D[0,:]=9
>>> D
array([[ 9, 9],
[ 3, 10],
[ 5, 10]])
>>> A
array([[ 1, 10],
[ 3, 10],
[ 5, 10]])
>>> id(A)
60451360
>>> id(D)
206144320
fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動
NumPy 的 array 允許用真假值(布林值)或整數 之 list 或 真假值(布林值)或整數 之 np.array 做下標集, 提取內容(但 list 無此功能), 與原來的 array 不連動, scipy lecture notes 稱此為 fancy indexing.
ref: Scipy lecture notes, Edition 2020.1: sec4.1.7 Fancy indexing
以下用 整數 之 list 取切片, 不連動
>>> import numpy as np
>>> aArray = np.array([1,2,3,4,5])
>>> aArray
array([1, 2, 3, 4, 5])
>>> aArray[[0,1,4]]
array([1, 2, 5])
>>> bArray = aArray[[0,1,4]]
>>> bArray
array([1, 2, 5])
>>> aArray[0]=22
>>> aArray
array([22, 2, 3, 4, 5])
>>> bArray
array([1, 2, 5])
>>> bArray[0]=11
>>> bArray
array([11, 2, 5])
>>> aArray
array([22, 2, 3, 4, 5])
>>> arrayIndex = np.array([1,2,4])
>>> arrayIndex
array([1, 2, 4])
>>> bArray = aArray[arrayIndex]
>>> bArray
array([2, 3, 5])
以下用 整數 之 np.array 取切片, 不連動
>>> arrayIndex = np.array([0,1,4])
>>> arrayIndex
array([0, 1, 4])
>>> bArray = aArray[arrayIndex]
>>> bArray
array([22, 2, 5])
>>> aArray[0]=222
>>> aArray
array([222, 2, 3, 4, 5])
>>> bArray
array([22, 2, 5])
NumPy 的 速查簡表
Ref: 以下我們參考: Python Numpy全世界最長基礎教程最適合小白學習 還詳細很全速拿, https://twgreatdaily.com/AhWyTG8BMH2_cNUgWU4g.html link.
一、數組方法
創建數組：arange()創建一維數組；array()創建一維或多維數組，其參數是類似於數組的對象，如列表等
創建數組：np.zeros((2,3))，或者np.ones((2,3))，參數是一個元組分別表示行數和列數
對應元素相乘，a * b，得到一個新的矩陣，形狀要一致；但是允許a是向量而b是矩陣，a的列數必須等於b的列數，a與每個行向量點乘
- / 與 * 的運算規則相同。
數學上定義的矩陣乘法 np.dot(a, b)。如果形狀不匹配會報錯；但是允許允許a和b都是向量，返回兩個向量的內積。只要有一個參數不是向量，就應用矩陣乘法。
（PS：總之就是，向量很特殊，在運算中可以自由轉置而不會出錯，運算的返回值如果維度為1，也一律用行向量[]表示）
讀取數組元素：如a[0],a[0,0]
數組變形：如b=a.reshape(2,3,4)將得到原數組變為2_3_4的三維數組後的數組；或是a.shape=(2,3,4)或a.resize(2,3,4)直接改變數組a的形狀
數組組合：水平組合hstack((a,b))或concatenate（（a,b）,axis=1）;垂直組合vstack((a,b))或concatenate（（a,b）,axis=0）;深度組合dstack((a,b))
數組分割（與數組組合相反）：分別有hsplit,vsplit,dsplit,split(split與concatenate相對應)
將np數組變為py列表：a.tolist()
數組排序（小到大）：列排列np.msort(a)，行排列np.sort(a)，np.argsort(a)排序後返回下標
複數排序：np.sort_complex(a)按先實部後虛部排序
數組的插入：np.searchsorted(a,b)將b插入原有序數組a，並返回插入元素的索引值
類型轉換：如a.astype(int)，np的數據類型比py豐富，且每種類型都有轉換方法
條件查找，返回滿足條件的數組元素的索引值：np.where(條件)
條件查找，返回下標：np.argwhere(條件)
>>> A
array([ 1, 4, 7, 10])
>>> np.argwhere(A==7)
array([[2]], dtype=int64)
>>> np.where(A==7)
(array([2], dtype=int64),)
>>> np.where(A%2==0)
(array([1, 3], dtype=int64),)
>>> np.argwhere(A%2==0)
array([[1],
[3]], dtype=int64)
條件查找，返回滿足條件的數組元素：np.extract([條件],a)
根據b中元素作為索引，查找a中對應元素：np.take(a,b)一維
數組中最小最大元素的索引：np.argmin(a)，np.argmax(a)
多個數組的對應位置上元素大小的比較：np.maximum(a,b,c,……)返回每個索引位置上的最大值，np.minimum(…….)相反
將a中元素都置為b：a.fill(b)
每個數組元素的指數：np.exp(a)
生成等差行向量：如np.linspace(1,6,10)則得到1到6之間的均勻分布，總共返回10個數
求余：np.mod(a,n)相當於a%n，np.fmod(a,n)仍為求余且餘數的正負由a決定
計算平均值：np.mean(a)
計算最大值：amax(a, axis=None, out=None, keepdims=False) 。Return the maximum of an array or maximum along an axis.
計算加權平均值：np.average(a,b),其中b是權重
計算數組的極差：np.pth(a)=max(a)-min(a)
計算方差（總體方差）：np.var(a)
標準差：np.std(a)
算術平方根，a為浮點數類型：np.sqrt(a)
對數：np.log(a)
修剪數組，將數組中小於x的數均換為x，大於y的數均換為y：a.clip(x,y)
所有數組元素乘積：a.prod()
數組元素的累積乘積：a.cumprod()
數組元素的符號：np.sign(a)，返回數組中各元素的正負符號，用1和-1表示
數組元素分類：np.piecewise(a,[條件]，[返回值])，分段給定取值，根據判斷條件給元素分類，並返回設定的返回值。
判斷兩數組是否相等： np.array_equal(a,b)
判斷數組元素是否為實數： np.isreal(a)
去除數組中首尾為0的元素：np.trim_zeros(a)
對浮點數取整，但不改變浮點數類型：np.rint(a)
二、數組屬性
1.獲取數組每一維度的大小：a.shape
2.獲取數組維度：a.ndim
3.元素個數：a.size
4.數組元素在內存中的字節數：a.itemsize
5.數組字節數：a.nbytes==a.size*a.itemsize
6.數組元素覆蓋：a.flat=1，則a中數組元素都被1覆蓋
7.數組轉置：a.T
不能求逆、求協方差、跡等，不適用於複雜科學計算，可以將array轉換成matrix。
三、矩陣方法
np.mat(『…』) 官網已建議不要使用
創建矩陣：np.mat(『…』)通過字符串格式創建，np.mat(a)通過array數組創建，也可用matrix或bmat函數創建
創建複合矩陣：np.bmat(『A B』,』AB』)，用A和B創建複合矩陣AB（字符串格式）
創建n*n維單位矩陣：np.eye(n)
矩陣的轉置：A.T
矩陣的逆矩陣：A.I
計算協方差矩陣：np.cov(x)，np.cov(x,y)
計算矩陣的跡（對角線元素和）：a.trace()
相關係數：np.corrcoef(x,y)
給出對角線元素：a.diagonal()
四、線性代數
估計線性模型中的係數：a=np.linalg.lstsq(x,b),有b=a*x
求方陣的逆矩陣：np.linalg.inv(A)
求廣義逆矩陣：np.linalg.pinv(A)
求矩陣的行列式：np.linalg.det(A)
解形如AX=b的線性方程組：np.linalg.solve(A,b)
求矩陣的特徵值：np.linalg.eigvals（A）
求特徵值和特徵向量：np.linalg.eig(A)
Svd分解：np.linalg.svd(A)
五、機率分布
產生二項分布的隨機數：np.random.binomial(n,p,size=…)，其中n,p,size分別是每輪試驗次數、機率、輪數
產生超幾何分布隨機數：np.random.hypergeometric(n1,n2,n,size=…)，其中參數意義分別是物件1總量、物件2總量、每次採樣數、試驗次數
產生N個正態分布的隨機數：np.random.normal(均值，標準差，N)
產生N個對數正態分布的隨機數：np.random.lognormal(mean,sigma,N)
六、多項式
多項式擬合：poly= np.polyfit(x,a,n),擬合點集a得到n級多項式，其中x為橫軸長度，返回多項式的係數
多項式求導函數：np.polyder(poly),返回導函數的係數
得到多項式的n階導函數：多項式.deriv(m = n)
多項式求根：np.roots(poly)
多項式在某點上的值：np.polyval(poly,x[n]),返回poly多項式在橫軸點上x[n]上的值
兩個多項式做差運算： np.polysub(a,b)
Matpoltlib簡單繪圖方法
引入簡單繪圖的包import matplotlib.pyplot as plt，最後用plt.show()顯示圖像
基本畫圖方法：plt.plot(x,y)，plt.xlabel(『x』)，plt.ylabel(『y』)，plt.title(『…』)
子圖：plt.subplot(abc)，其中abc分別表示子圖行數、列數、序號
創建繪圖組件的頂層容器：fig = plt.figure()
添加子圖：ax = fig.add_subplot(abc)
設置橫軸上的主定位器：ax.xaxis.set_major_locator(…)
繪製方圖：plt.hist(a,b)，a為長方形的左橫坐標值，b為柱高
繪製散點圖：plt.scatter(x,y,c = 『…』,s = …)，c表示顏色，s表示大小
添加網格線：plt.grid(True)
添加注釋：如ax.annotate(‘x’, xy=xpoint, textcoords=‘offsetpoints’,xytext=(-50, 30), arrowprops=dict(arrowstyle=“->”))
增加圖例：如plt.legend(loc=‘best’, fancybox=True)
對坐標取對數：橫坐標plt.semilogx()，縱坐標plt.semilogy()，橫縱同時plt.loglog()
NumPy 與 Matlab, R, Octave 等的對照速查簡表
可以參考以下 References.
References
- Python Numpy全世界最長基礎教程最適合小白學習 還詳細很全速拿, https://twgreatdaily.com/AhWyTG8BMH2_cNUgWU4g.html link.
Python NumPy 與 Matlab, R, Octave 等的對照:
Thesaurus of Mathematical Languages,
or MATLAB synonymous commands in Python/NumPy
列出 Matlab, Python, R, Octave等, 相對應的指令,
有 pdf檔.
Copyright ©2006,2008 Vidar Bronken Gundersen, http://mathesaurus.sf.net/
linkNumPy for Matlab users
列出 Matlab, Python 相對應的指令.
https://numpy.org/doc/stable/user/numpy-for-matlab-users.html
link