課程概述

以 Python+NumPy+SciPy+SymPy 實作大學基礎數學之線性代數矩陣計算、微積分與數論 賴鵬仁編著

“Talk is cheap. Show me the code.” ― Linus Torvalds

老子第41章 上德若谷 大白若辱 大方無隅 大器晚成 大音希聲 大象無形 道隱無名

拳打千遍, 身法自然

本教材之目錄

• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 1 Python科學計算第三方庫, 原生指令, 內建模組, 外部模組 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 1.1 scipy.linalg 官網完整列表 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 2 產生 numpy 的 數組, 矩陣點乘 等 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 3 向量與矩陣運算 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 4 函數向量化 function vectorized link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 5 矩陣特徵值等不變量計算 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 5.1 矩陣分解的指令 link
• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 6 解線性方程組 直接法: Gauss 消去, LU 等 link

• 用 Python+NumPy+SciPy 執行 Matlab 的矩陣計算 7 解線性方程組 迭代法: Jacobi iterated,Gauss-Seidel 等 link

• 用 Python+SciPy+SymPy+GeoGebra 執行微積分計算

• 整數論 以 Python 實驗 1

• 整數論 以 Python 實驗 2 最簡短的 Python codes 算因數 (Matlab, R)

本講義講解將我原先用 Matlab 跑的有關矩陣(線性代數)、微積分、數論等的操作, 轉成用 Python + NumPy + SciPy +SymPy 來執行的程式碼細節
(如果想知道Python更基礎的部分, 例如 list 串列, 函數如何定義, random 隨機數之產生等等, 可以參考本人另一本講義: 從turtle海龜動畫 學習 Python - 高中彈性課程系列 3 烏龜繪圖 所需之Python基礎, 本教材獲得國立高雄師範大學111學年度高教深耕計畫優良教材獎勵, 核撥獎金14500元.) — 20250306 revised

• GeoGebra 在中學數理科到大二微積分相當夠用
• Python 中執行矩陣運算的主力是 NumPy
• Python 中執行數值計算的主力是 SciPy(先載入NumPy)
• Python 中執行微積分或符號運算的主力是 SymPy, 註: 符號計算 相當於叫電腦模擬我們中學或大學時用手算出數學公式的計算

如果考量到

1. 免費開源社群穩定
2. 兼具數值與符號運算
3. 又能延伸到研究所

建議使用 GeoGebra 同時搭配 Python+(先載入)NumPy(矩陣)+SciPy(科學計算)+SymPy(符號運算), (如果是GeoGebra 搭配 以下之軟體,可能數值與符號運算就無法兼具,

1. GeoGebra 搭配 以下之免費軟體, : GeoGebra + R (偏重統計與數值), GeoGebra + Octave (偏重數值), GeoGebra + Maxima (偏重符號運算) 等,
2. 如果不在意付費, 則搭配付費軟體, 學習曲線會較低, 因為付費軟體通常說明文檔會較齊全貼心: GeoGebra + Matlab (偏重數值), GeoGebra + Maple (偏重符號運算), GeoGebra + Mathematica (偏重符號運算) 搭配, 都可.)

用 Python+Numpy+scipy 執行矩陣計算 1

本篇將我原先用 Matlab 跑的有關矩陣(線性代數), 改用開放原始碼且免費之 Python + NumPy + SciPy 來執行的程式碼細節

以下我將假設讀者略懂 Python, 但是我還是盡量為完全沒學過 Python 或 Matlab 的人, 把指令最基本的功用, 或是需要叮嚀的地方,都用最簡略的說明附上, 為避免見樹不見林, 妨礙 “用 Python + NumPy + SciPy 跑的有關矩陣(線性代數)” 的主軸, 這類有關最基本的說明, 都用最簡短的方式一語就帶過.

(如果想知道Python更基礎的部分, 例如 list 串列, 函數如何定義, random 隨機數之產生等等, 可以參考本人另一本講義: 從turtle海龜動畫 學習 Python - 高中彈性課程系列 3 烏龜繪圖 所需之Python基礎, 本教材獲得國立高雄師範大學111學年度高教深耕計畫優良教材獎勵, 核撥獎金14500元.)

緣起:

我在大學數學系教20多年, 在教學研究中, 搭配使用了 Maple、Matlab、C、Python、R、 JavaScript 等程式語言，GSP、GeoGebra 等動態幾何軟體.

1983 讀大學時被當時的 CDC Cyber172 大型電腦嚇到了, 輸入codes要先用打卡機打卡, 在送到計算機中心的一個小窗口, 卡片放在那排隊等待機器輸入程式碼, 大約都要過兩三天才會在窗口外面的放報表的櫃子裡, 找到自己程式碼執行的結果, 是列印在報表紙上, 常常是看到一堆 Fatal 的訊息. 到了下學期學校有了終端機, 但是輸入一個指令要等 1、2 分鐘回應, 讓我對電腦又愛又怕, 走了純數學的學習方向. 1997 完成德國博士學位回國開始教書後, 電腦的環境已經大為友善, (其實在德國讀博時, 我的指導教授是萊比錫 “馬克思普朗克研究所-數學在自然科學之應用” 的所長 Jost 博士, 當時所上就有很先進的 UNIX 系統的電腦, 我的數學博士論文都是自己用 Tex 編輯排版成的, 再用鎖上的印表機印出, 再拿原稿去影印店多印幾份裝訂起來, 多虧了我當時德國博班研究所好友是Tex高手, 可以隨時問他, Prof. Jost 的書出版在 德國學術出版社 Springer-Verlag 的原稿都是他用 Tex 編打的!).

想到之前在清大數學系當專任助教時一直想學 C 的心願, 回國後我就先學 C, 還是覺得太難, 一直在除錯, 終於 Maple 在約20年前開始普及, 當時盜版 Maple5 很容易拿到, Mathematica 還需要鎖硬體鎖, 拿到盜版軟體也沒用, 終於從 Maple 開始圓了我可以自由在自己的電腦 (不用在大電腦跑程式) 寫程式的夢, 系上也買了整間電腦教室 Maple 授權版, Maple 的程式語法與函數式習慣的設計, 都是數學家的口味, 對於數學的研究人員, 學起來特別順, 也是直譯式, 可以立即看執行結果.

後來為了做研究要跑基因演算法、螞蟻族群演算法等, Maple的速度有點慢, 當模擬的尺度較大時, 執行時間實在太久, 用 C 寫, 又一直陷在不斷除錯,

改學 Matlab, 發現 Matlab 真的好用, 他就像用語法糖重新包裹 C 語言, 直觀且向量化操作, 在跟矩陣有關的程式處理, 特別簡單直接, 也符合數學家的思維習慣, 尤其在繪圖呈現執行結果, 比 C 方便多了, 同樣系上也買了整間電腦教室基本版之授權版. 但是我還是喜歡用同學抓到的完整版, 因為工具箱全都有.

之後在工教系教微積分課, 三節課中抽一節課教同學用 C 執行牛頓法、數值微分、數值積分等, 但是同學反應 C 太難, 隔年改用 Matalb, 同學反應意見好多了, 但是遇到一件事, 同學跟我要軟體, 因為離開電腦教室, 他們沒法執行 Matlab 程式.

我才發現, 當時約10年前, 台灣要找盜版辦軟體已經不容易了, 我在這之前, 這麼多年用的很多軟體, 多是同學提供的, 都是拜託會在網路上找軟體的同學抓給我, 因為有時要試用某些軟體, 一套都少則四、五千, 多則五、六萬不可能花錢去買, 通常是先找看看有沒有網路上找到的軟體可以用, 用得不錯, 再建議系上買.

因為約10多年前同學跟我要軟體, 我才發現網路上找軟體在台灣已經越來越困難了, 在當時新聞又報, 模糊的印象如下: 新竹或台北某專科或科技大學的老師, 因為給同學軟體, 遭到微軟提告!(後來是否沒事, 我沒有去注意)

也因為這樣的狀況, 讓我警覺到, 不能再依賴這些付費軟體了, 用免費的開源軟體, 同學可以光明正大的使用, 有任何更新, 也都會自動更新,

老師在學校教學生這些付費軟體, 其實是在幫這些跨國的軟體公司免費宣傳他們的軟體, 同學用習慣的這些軟體, 將來進入業界, 也會建議公司購買, 少部分軟體公司, 卻沒有遠見, 讓老師幫他們忙還要擔心被起訴..

用免費之開源軟體, 唯一的難點是, 免費之開源軟體通常說明文件較不詳細,且幾乎都是原文, 會開源軟體的人也少, 相對於 Matlab 在網路及出版書籍之滿坑滿谷的資料, Python 在10 多年前要學, 真的較辛苦, 且光是安裝, 在當時開源軟體在 Windows 上通常較困難安裝(目前微軟已改變形象, 支持開源軟體) , 在 Linux上會較容易, 但是一般電腦小白要學會使用 Linux 作業系統又要花費一番工夫.

後來我還是忍耐慢慢摸熟了 Python, 當初是為了能在 GeoGebra5 上執行 Python codes (2014已停掉這個功能, 目前能仍用 JavaScript 在 GeoGebra 寫程式), 我是透過 Python 的 turtle 模組, 切入 Python 的使用, turtle 模組有較豐富的說明文件, 也可以觀摩源程式碼, 感謝 Python 的 turtle 模組的開發人員! (用 Python 的 turtle 模組探索數學, 可以參考本人的正在寫的另一篇: 從turtle海龜動畫學習Python-高中彈性課程1 ).

註: 本文以下提到 “Python 的 原生 $\dots$”, 指的是 Python 一安裝好就有的功能、模組、物件或指令等, 例如內建的 list串列 string字串 等物件及其使用之指令, 等等, 不需要另外安裝第三方程式庫的東東.

註: 以下我將內容分成初步及進階, 第一次讀, 可以跳過進階的部分, 以免見樹不見林 如果看到以下之註明:

• 以下可以等進階時再細看 , , , , ,, , ,
• 以上可以等進階時再細看 就表示此部分第一次讀, 可以跳過.

Python 的科學計算第三方庫最基本有: 矩陣計算 NumPy, 科學計算 SciPy, 繪圖 Matplotlib, 符號運算 SymPy

這三個第三方庫: NumPy, SciPy, Matplotlib 有何不同? 根據官網的 Scipy Lecture Notes 2020 版: NumPy 主要是提供對數組(array) 或矩陣(matrix)的指令 SciPy 則提供較上層的科學計算的函數: 最佳化(求極大極小), 求零根, 統計, 傅立葉變換等 SciPy 的基本內容大項: 特殊函數、積分、最佳化、訊號處理、統計等等

Matplotlib 則支持繪圖方面, Matplotlib.pyplot 是提供跟 Matlab 繪圖指令接近的繪圖函式庫 Ref: Scipy Lecture Notes: http://scipy-lectures.org/ link … 也可以參考許多博客的說明: 例如 csdn上的 Ref: 简述Python的Numpy,SciPy和Pandas,Matplotlib的区别, https://blog.csdn.net/ctrigger/article/details/92666676 link

Ref: 這裡有很具體的指令用法, 用在線性代數課程上: 陳擎文教學網：python解線性代數, https://acupun.site/lecture/linearAlgebra/index.htm link

Python, Numpy, SciPy 的安裝或線上使用

• 安裝Python 請參考本人的另一篇 從turtle海龜動畫 學習 Python - 高中彈性課程系列 2 安裝 Python, 線上執行 Python 安裝Python 那節 (本教材獲得國立高雄師範大學111學年度高教深耕計畫優良教材獎勵, 核撥獎金14500元)

• Python安裝之後並沒有 NumPy, SciPy, Pandas 這些程式庫, 他們是額外加裝在 Python 上的程式庫 (目前仍是開源且免費), 在 Windows 下, 打開 “命令提示字元” 的視窗, (注意, 當下的路徑可能要在Python的資料夾下), 輸入

>> pip install numpy >> pip install scipy

• 或是使用 Anaconda, 安裝好之後, 最重要的程式庫都已裝好, Anaconda + Jupyter Notebook 會自動安裝好所需的科學計算或大數據的程式庫 (or Anaconda + Spyder or Anaconda + PyCharm 等),

• 或是使用 VSCode, 安裝好之後, 重要的程式庫可以當下搜尋外掛擴充.

• 線上使用可以用 Google Colab, 也會自動安裝好所需的科學計算或大數據的程式庫.

注意事項:

Python 的 list 之 slice(切片) 不會與原 list 連動 np.array() 的 slice 會與原 np.array 連動 特別注意 Python 的所有資料的容器(例如 list) 下標是從 0 開始, 與 C 語言相同(Matlab則是從1開始)

剛學 Python 較容易感到混淆的, 就是那些指令是本來就有的, 那些是從外部第三方庫引入的

以下提到 “Python 的 原生 $\dots$”, 指的是一安裝好就有的功能、模組、物件或指令等,

A. 本來就有(原生)指令

又分,

A.1. 打開IDLE就可以馬上用的指令(開箱即用)

可以下 dir(‘builtins’) 查看內建的指令, 發現跟下面官網的 Built-in Functions列表不太一樣

>>> dir('builtins')
['__add__', '__class__', '__contains__', '__delattr__', '__dir__', '__doc__', '__eq__', '__format__', '__ge__', '__getattribute__', '__getitem__', '__getnewargs__', '__gt__', '__hash__', '__init__', '__init_subclass__', '__iter__', '__le__', '__len__', '__lt__', '__mod__', '__mul__', '__ne__', '__new__', '__reduce__', '__reduce_ex__', '__repr__', '__rmod__', '__rmul__', '__setattr__', '__sizeof__', '__str__', '__subclasshook__', 'capitalize', 'casefold', 'center', 'count', 'encode', 'endswith', 'expandtabs', 'find', 'format', 'format_map', 'index', 'isalnum', 'isalpha', 'isascii', 'isdecimal', 'isdigit', 'isidentifier', 'islower', 'isnumeric', 'isprintable', 'isspace', 'istitle', 'isupper', 'join', 'ljust', 'lower', 'lstrip', 'maketrans', 'partition', 'replace', 'rfind', 'rindex', 'rjust', 'rpartition', 'rsplit', 'rstrip', 'split', 'splitlines', 'startswith', 'strip', 'swapcase', 'title', 'translate', 'upper', 'zfill']

以下是官網的 Built-in Functions列表, 下面有連結處

Built-in Functions: abs() delattr() hash() memoryview() set() all() dict() help() min() setattr() any() dir() hex() next() slice() ascii() divmod() id() object() sorted() bin() enumerate() input() oct() staticmethod() bool() eval() int() open() str() breakpoint() exec() isinstance() ord() sum() bytearray() filter() issubclass() pow() super() bytes() float() iter() print() tuple() callable() format() len() property() type() chr() frozenset() list() range() vars() classmethod() getattr() locals() repr() zip() compile() globals() map() reversed() import() complex() hasattr() max() round()

例如 abs() 就是取絕對值,,,

ref: 官網的 Built-in Functions列表 : https://docs.python.org/3/library/functions.html link

另外, 以及各內建 class 的方法, 例如 list 物件的方法, 例如 list.sort() 等, 都是開箱即用

A.2. 要先載入需要之內建模組, 例如 math, turtle 等模組需先用 import 載入才能用的指令

還有些是要載入自動安裝好的模組, 例如 求最大公因數, 可以用math.gcd(a,b) 需要先載入 math module 先下 import math 再下 math.gcd(a,b)

Python 才會認得並執行.

A.2.1 內建 數學函數與內建的 math 模組 的數學函數

內建_數學函數: abs(), comlex(), max(), min(), pow(), round(), sorted(), sum(),

內建的math 模組的數學函數: sin(), cos(), atan(),,,,fmod(), ceil(), floor(), fabs(),factorial(), exp(), gcd(), pow(x,y), log10(), sqrt(),fsum(), math.gamma(), math.pi, math.e, math.inf ( =float(‘inf’) ), math.nan ( =float(‘nan’))

ref: 內建的math 模組的數學函數: https://docs.python.org/3/library/math.html link

>>> import math >>> dir(math) [‘doc’, ‘loader’, ‘name’, ‘package’, ‘spec’, ‘acos’, ‘acosh’, ‘asin’, ‘asinh’, ‘atan’, ‘atan2’, ‘atanh’, ‘ceil’, ‘comb’, ‘copysign’, ‘cos’, ‘cosh’, ‘degrees’, ‘dist’, ‘e’, ‘erf’, ‘erfc’, ‘exp’, ‘expm1’, ‘fabs’, ‘factorial’, ‘floor’, ‘fmod’, ‘frexp’, ‘fsum’, ‘gamma’, ‘gcd’, ‘hypot’, ‘inf’, ‘isclose’, ‘isfinite’, ‘isinf’, ‘isnan’, ‘isqrt’, ‘ldexp’, ‘lgamma’, ‘log’, ‘log10’, ‘log1p’, ‘log2’, ‘modf’, ‘nan’, ‘perm’, ‘pi’, ‘pow’, ‘prod’, ‘radians’, ‘remainder’, ‘sin’, ‘sinh’, ‘sqrt’, ‘tan’, ‘tanh’, ‘tau’, ‘trunc’]

Ref Python 中有數學指令的模組或程式庫: 用 Python+SciPy+SymPy 執行微積分計算 1 link 部分參考自 陳擎文教學網, python求解數學式（高中數學，大學數學，工程數學，微積分）

• 以下可以等進階時再細看

A.2.2 查看有那些內建的模組 help(__builtins__)

要從 Windows 開始程式集 處選取, 例如 /python38/Module Docs 才看的到, 其實內容是放在安裝在硬碟的檔案, 或是下 >>>help(__builtins__) 也可以

B. 需從外部安裝所謂”第三方程式庫”的指令

就是非原生的程式庫, 需要另外加裝, 例如 numpy, scipy 等以及它們的物件跟指令. 例如, 如果是 Windows 作業系統下, 需要先打開 cmd(命令提示字元), 下 pip install numpy 才算安裝好 在 IDLE 內還要下 import numpy 才能開始使用 numpy 的指令

B.1 查看已經安裝的所有模組, 包括外部模組 help('modules')

如果查看已經安裝的所有模組, 包括外部模組, 可以在 IDLE下 help('modules') 查看已經安裝的所有模組, 會顯示內建的跟已安裝的第三方程式庫,

>>> help('modules')

Please wait a moment while I gather a list of all available modules...

FactorList_Lai      autocomplete        html                runpy
__future__          autocomplete_w      http                runscript
__main__            autoexpand          hyperparser         sched
_abc                base64              idle                scipy
_ast                bdb                 idle_test           scrolledlist
_asyncio            binascii            idlelib             search
_bisect             binhex              imaplib             searchbase
_blake2             bisect              imghdr              searchengine
_bootlocale         browser             imp                 secrets
_bz2                builtins            importlib           select
_codecs             bz2                 inspect             selectors
_codecs_cn          cProfile            io                  setuptools
_codecs_hk          caesarCipher        iomenu              shelve
_codecs_iso2022     calendar            ipaddress           shlex
_codecs_jp          calltip             isympy              shutil
_codecs_kr          calltip_w           itertools           sidebar
_codecs_tw          cgi                 json                signal
_collections        cgitb               keyword             site
_collections_abc    chunk               kiwisolver          six
_compat_pickle      cmath               lib2to3             smtpd
_compression        cmd                 linecache           smtplib
_contextvars        code                locale              sndhdr
_csv                codecontext         logging             socket
_ctypes             codecs              lzma                socketserver
_ctypes_test        codeop              macosx              sqlite3
_datetime           collections         mailbox             squeezer
_decimal            colorizer           mailcap             sre_compile
_dummy_thread       colorsys            mainmenu            sre_constants
_elementtree        compileall          marshal             sre_parse
_functools          concurrent          math                ssl
_hashlib            config              matplotlib          stackviewer
_heapq              config_key          mimetypes           stat
_imp                configdialog        mmap                statistics
_io                 configparser        modulefinder        statusbar
_json               contextlib          mpmath              string
_locale             contextvars         msilib              stringprep
_lsprof             copy                msvcrt              struct
_lzma               copyreg             multicall           subprocess
_markupbase         crypt               multiprocessing     sunau
_md5                csv                 netrc               symbol
_msi                ctypes              nntplib             sympy
_multibytecodec     curses              nt                  symtable
_multiprocessing    cycler              ntpath              sys
_opcode             dataclasses         nturl2path          sysconfig
_operator           datetime            numbers             tabnanny
_osx_support        dateutil            numpy               tarfile
_overlapped         dbm                 opcode              telnetlib
_pickle             debugger            operator            tempfile
_py_abc             debugger_r          optparse            test
_pydecimal          debugobj            os                  textview
_pyio               debugobj_r          outwin              textwrap
_queue              decimal             pandas              this
_random             delegator           parenmatch          threading
_sha1               difflib             parser              time
_sha256             dis                 pathbrowser         timeForVectorMethodFactor
_sha3               distutils           pathlib             timeit
_sha512             doctest             pdb                 tkinter
_signal             dummy_threading     percolator          token
_sitebuiltins       dynoption           pickle              tokenize
_socket             easy_install        pickletools         tooltip
_sqlite3            editor              pip                 trace
_sre                email               pipes               traceback
_ssl                encodings           pkg_resources       tracemalloc
_stat               ensurepip           pkgutil             tree
_statistics         enum                platform            tty
_string             errno               plistlib            turtle
_strptime           ex1_Sum_n_Squre_3_Python_style poplib              turtledemo
_struct             ex3_check           posixpath           types
_symtable           ex4_checkRandom     pprint              typing
_testbuffer         ex5_checkRandomList profile             undo
_testcapi           faulthandler        pstats              unicodedata
_testconsole        filecmp             pty                 unittest
_testimportmultiple fileinput           py_compile          urllib
_testmultiphase     filelist            pyclbr              uu
_thread             fnmatch             pydoc               uuid
_threading_local    format              pydoc_data          venv
_tkinter            formatter           pyexpat             warnings
_tracemalloc        fractions           pylab               wave
_warnings           ftplib              pyparse             weakref
_weakref            functools           pyparsing           webbrowser
_weakrefset         gc                  pyperclip           window
_winapi             genericpath         pyshell             winreg
_xxsubinterpreters  getopt              pytz                winsound
abc                 getpass             query               wsgiref
aifc                gettext             queue               xdrlib
antigravity         glob                quopri              xml
argparse            grep                random              xmlrpc
array               gzip                re                  xxsubtype
ast                 hashlib             redirector          zipapp
asynchat            heapq               replace             zipfile
asyncio             help                reprlib             zipimport
asyncore            help_about          rlcompleter         zlib
atexit              history             rpc                 zoomheight
audioop             hmac                run                 zzdummy

Enter any module name to get more help.  Or, type "modules spam" to search
for modules whose name or summary contain the string "spam".

• 以上可以等進階時再細看

• 以下可以等進階時再細看

C. 內部指令與第三方程式庫之指令常有同名之情形, 或是不同之第三方程式庫指令會有同名之情形, 在使用時要小心

指令同名, 可能用法不同, 所以要小心! 例如 Python 有原生的 random 模組, 而 NumPy 模組的 numpy.random 也有很多類似的指令.

所以很多資料都建議, 在載入第三方程式庫時盡量不要用 from math import * 此種載入方式, 可以直接使用指令, 例如 gcd(100,25)

盡量用 import math 的方式 此種載入方式, 指令前需加一個模組名及點語法, 例如 math.gcd(100,25) 如此就可以知道, gcd()是來自於 math 模組, 如果其他模組也有 gcd(), 就不會混淆.

細節等以後再提

D. 粗略查看某個模組的所有方法或指令

可以在用 import 載入該模組之後, 使用 dir查詢 例如以下可以列出內建之 turtle 模組的所有指令 詳細的用法仍需查 Pyhton 官網的說明 https://docs.python.org/3/library/turtle.html

>>> import turtle
>>> dir(turtle)
['Canvas', 'Pen', 'RawPen', 'RawTurtle', 'Screen', 'ScrolledCanvas', 'Shape', 'TK', 'TNavigator', 'TPen', 'Tbuffer', 'Terminator', 'Turtle', 'TurtleGraphicsError', 'TurtleScreen', 'TurtleScreenBase', 'Vec2D', '_CFG', '_LANGUAGE', '_Root', '_Screen', '_TurtleImage', '__all__', '__builtins__', '__cached__', '__doc__', '__file__', '__forwardmethods', '__func_body', '__loader__', '__methodDict', '__methods', '__name__', '__package__', '__spec__', '__stringBody', '_alias_list', '_make_global_funcs', '_screen_docrevise', '_tg_classes', '_tg_screen_functions', '_tg_turtle_functions', '_tg_utilities', '_turtle_docrevise', '_ver', 'addshape', 'back', 'backward', 'begin_fill', 'begin_poly', 'bgcolor', 'bgpic', 'bk', 'bye', 'circle', 'clear', 'clearscreen', 'clearstamp', 'clearstamps', 'clone', 'color', 'colormode', 'config_dict', 'deepcopy', 'degrees', 'delay', 'distance', 'done', 'dot', 'down', 'end_fill', 'end_poly', 'exitonclick', 'fd', 'fillcolor', 'filling', 'forward', 'get_poly', 'get_shapepoly', 'getcanvas', 'getmethparlist', 'getpen', 'getscreen', 'getshapes', 'getturtle', 'goto', 'heading', 'hideturtle', 'home', 'ht', 'inspect', 'isdown', 'isfile', 'isvisible', 'join', 'left', 'listen', 'lt', 'mainloop', 'math', 'mode', 'numinput', 'onclick', 'ondrag', 'onkey', 'onkeypress', 'onkeyrelease', 'onrelease', 'onscreenclick', 'ontimer', 'pd', 'pen', 'pencolor', 'pendown', 'pensize', 'penup', 'pos', 'position', 'pu', 'radians', 'read_docstrings', 'readconfig', 'register_shape', 'reset', 'resetscreen', 'resizemode', 'right', 'rt', 'screensize', 'seth', 'setheading', 'setpos', 'setposition', 'settiltangle', 'setundobuffer', 'setup', 'setworldcoordinates', 'setx', 'sety', 'shape', 'shapesize', 'shapetransform', 'shearfactor', 'showturtle', 'simpledialog', 'speed', 'split', 'st', 'stamp', 'sys', 'textinput', 'tilt', 'tiltangle', 'time', 'title', 'towards', 'tracer', 'turtles', 'turtlesize', 'types', 'undo', 'undobufferentries', 'up', 'update', 'width', 'window_height', 'window_width', 'write', 'write_docstringdict', 'xcor', 'ycor']

如果想查NumPy 模組的所有指令, 一樣用 import 載入之後, 使用 dir查詢 指令長達 93行, 詳細的用法仍需查 Numpy 官網的說明或手冊

>>> import numpy
>>> dir(numpy)
['ALLOW_THREADS', 'AxisError', 'BUFSIZE', 'CLIP', 'ComplexWarning', 'DataSource', 'ERR_CALL',
'ERR_DEFAULT', 'ERR_IGNORE', 'ERR_LOG', 'ERR_PRINT', 'ERR_RAISE', 'ERR_WARN', 
'FLOATING_POINT_SUPPORT', 'FPE_DIVIDEBYZERO', 'FPE_INVALID', 'FPE_OVERFLOW',
 'FPE_UNDERFLOW', 'False_', 'Inf', 'Infinity', 'MAXDIMS', 'MAY_SHARE_BOUNDS', 
 'MAY_SHARE_EXACT', 'MachAr', 'ModuleDeprecationWarning', 'NAN', 'NINF', 'NZERO', 'NaN', 'PINF', 
 'PZERO', 'RAISE', 'RankWarning', 'SHIFT_DIVIDEBYZERO', 'SHIFT_INVALID', 'SHIFT_OVERFLOW',
  'SHIFT_UNDERFLOW', 'ScalarType', 'Tester', 'TooHardError', 'True_', 'UFUNC_BUFSIZE_DEFAULT',
 'UFUNC_PYVALS_NAME', 'VisibleDeprecationWarning', 'WRAP', '_NoValue', '_UFUNC_API',
 '__NUMPY_SETUP__', '__all__', '__builtins__', '__cached__', '__config__', '__dir__', '__doc__', '__file__', 
 '__getattr__', '__git_revision__', '__loader__', '__name__', '__package__', '__path__', '__spec__',
 '__version__', '_add_newdoc_ufunc', '_distributor_init', '_globals', '_mat', '_pytesttester', 'abs', 'absolute',
'absolute_import', 'add', 'add

• 以上可以等進階時再細看

Reference

• LU 分解 的現成指令, 只有在 scipy.linalg 與 sympy 有看到, numpy.linalg 則沒有, scipy.linalg 與 sympy 兩者都有, cholesky, qr, svd. scipy.linalg 多 lu, shur 等 – Numpy linalg 最新列表: https://numpy.org/devdocs/reference/routines.linalg.html link – SciPy linalg 最新列表: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html#scipy.linalg link

• (如果想知道Pythn更基礎的部分, 例如 list串列, 函數如何定義, random 隨機數之產生等等, 可以參考本人另一篇: 從turtle海龜動畫 學習 Python - 高中彈性課程系列 3 烏龜繪圖 所需之Python基礎 https://blog.csdn.net/m0_47985483/article/details/109522858 link

• 我是透過 Python 的 turtle 模組, 切入 Python 的使用, turtle 模組有較豐富的說明文件, 也可以觀摩源程式碼, 感謝 Python 的 turtle 模組的開發人員! (用 Python 的 turtle 模組探索數學, 可以參考本人的正在寫的另一篇: 從turtle海龜動畫學習Python-高中彈性課程1 link.

• 官網的 Built-in Functions列表 : https://docs.python.org/3/library/functions.html link

• 內建的math 模組的數學函數: https://docs.python.org/3/library/math.html link

• Scipy Lecture Notes: http://scipy-lectures.org/ link

• 也可以參考許多博客的說明: 例如 csdn上的, 简述Python的Numpy,SciPy和Pandas,Matplotlib的区别, https://blog.csdn.net/ctrigger/article/details/92666676 link

• 推薦: 這裡有很具體的指令用法, 用在線性代數課程上: Python 中有數學指令的模組或程式庫: 陳擎文教學網, python求解數學式（高中數學，大學數學，工程數學，微積分）https://acupun.site/lecture/python_math/index.htm#chp5 link

如果想立即參考 Python+ Numpy用在線性代數課程上的指令之例子, 可先看以下陳擎文這份網頁, (我提醒你官網的文件建議盡量用 numpy.array( , ), 不要用 numpy.matrix, 陳擎文這份網頁有很多用 matrix ) Ref: 陳擎文教學網這裡有很具體的指令用法, 用在線性代數課程上: 陳擎文教學網：python解線性代數, https://acupun.site/lecture/linearAlgebra/index.htm link

• Thesaurus of Mathematical Languages, or MATLAB synonymous commands in Python/NumPy 列出 Matlab, Python, R, Octave等, 相對應的指令, 有 pdf檔. Copyright ©2006,2008 Vidar Bronken Gundersen, http://mathesaurus.sf.net/ link
• NumPy for Matlab users 列出 Matlab, Python 相對應的指令. https://numpy.org/doc/stable/user/numpy-for-matlab-users.html link
• SciPy: Tentative_NumPy_Tutorial https://scipy.github.io/old-wiki/pages/Tentative_NumPy_Tutorial link

• SciPy: Numpy_Example_List 很有用的指令列表, 很長按字母順序排, 都有例子, 非常棒! https://scipy.github.io/old-wiki/pages/Numpy_Example_List.html link

• numpy.linalg 與 scipy.linalg 會有不少相同的 array 指令, 兩者都有的指令, 該用那個? https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/linalg.html#scipy-linalg-vs-numpy-linalg 以上官網這裡提到, numpy.linalg有的, scipy.linalg都有, 且更進階更快! scipy.linalg contains all the functions in numpy.linalg. plus some other more advanced ones not contained in numpy.linalg. Another advantage of using scipy.linalg over numpy.linalg is that it is always compiled with BLAS/LAPACK support, while for numpy this is optional. Therefore, the scipy version might be faster depending on how numpy was installed. Therefore, unless you don’t want to add scipy as a dependency to your numpy program, use scipy.linalg instead of numpy.linalg. link
• numpy.matrix vs 2-D numpy.ndarray 該用那個? numpy 有 ndarray 類, 也有 matrix矩陣類, matrix矩陣類操作更直觀且指令與matlab更接近, 但是官網建議盡量用 numpy.array( ,,, ), https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/tutorial/linalg.html#scipy-linalg-vs-numpy-linalg numpy.matrix vs 2-D numpy.ndarray “The classes that represent matrices, and basic operations, such as matrix multiplications and transpose are a part of numpy. For convenience, we summarize the differences between numpy.matrix and numpy.ndarray here. numpy.matrix is matrix class that has a more convenient interface than numpy.ndarray for matrix operations. This class supports, for example, MATLAB-like creation syntax via the semicolon, has matrix multiplication as default for the * operator, and contains I and T members that serve as shortcuts for inverse and transpose: Despite its convenience, the use of the numpy.matrix class is discouraged, since it adds nothing that cannot be accomplished with 2-D numpy.ndarray objects, and may lead to a confusion of which class is being used. For example, the above code can be rewritten as: ,,,,,,” link

• Sorting how to, https://github.com/python/cpython/blob/3.8/Doc/howto/sorting.rst link

• Clever B Moler, Numerical computing with Matlab.
• 劉正君, Matlab 科學計算與可視化仿真, 電子工業.
• 張若愚, Pyhton 科學計算.

• 猿媛之家, Python 程序員面試筆試寶典, 機械工業出版,

• Python函數的返回值與嵌套函數 - 每日頭條, 函數基本解釋, 閉包解釋清楚簡單 https://kknews.cc/zh-tw/code/ngopzeg.html link

20250406

用 Python+Numpy+scipy 執行矩陣計算 2 scipy.linalg 官網完整列表

scipy.linalg 官網完整列表

https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html#scipy.linalg

Linear algebra (scipy.linalg) Linear algebra functions.

See also

numpy.linalg for more linear algebra functions. Note that although scipy.linalg imports most of them, identically named functions from scipy.linalg may offer more or slightly differing functionality. ==numpy.linalg 與 scipy.linalg 有很多同名的函數, 通常 scipy.linalg 的同名函數會提供較豐富的功能==.

Basics

Eigenvalue Problems

指令 | 說明 :——– | :—– eig(a[, b, left, right, overwrite_a, …]) | Solve an ordinary or generalized eigenvalue problem of a square matrix. eigvals(a[, b, overwrite_a, check_finite, …]) | Compute eigenvalues from an ordinary or generalized eigenvalue problem. eigh(a[, b, lower, eigvals_only, …]) | Solve a standard or generalized eigenvalue problem for a complex Hermitian or real symmetric matrix. eigvalsh(a[, b, lower, overwrite_a, …]) | Solves a standard or generalized eigenvalue problem for a complex Hermitian or real symmetric matrix. eig_banded(a_band[, lower, eigvals_only, …]) | Solve real symmetric or complex Hermitian band matrix eigenvalue problem. eigvals_banded(a_band[, lower, …]) | Solve real symmetric or complex Hermitian band matrix eigenvalue problem. eigh_tridiagonal(d, e[, eigvals_only, …]) | Solve eigenvalue problem for a real symmetric tridiagonal matrix. eigvalsh_tridiagonal(d, e[, select, …]) | Solve eigenvalue problem for a real symmetric tridiagonal matrix.

Decompositions

指令 | 說明 :——– | :—– lu(a[, permute_l, overwrite_a, check_finite]) | Compute pivoted LU decomposition of a matrix. lu_factor(a[, overwrite_a, check_finite]) | Compute pivoted LU decomposition of a matrix. lu_solve(lu_and_piv, b[, trans, …]) | Solve an equation system, a x = b, given the LU factorization of a svd(a[, full_matrices, compute_uv, …]) | Singular Value Decomposition. svdvals(a[, overwrite_a, check_finite]) | Compute singular values of a matrix. diagsvd(s, M, N) | Construct the sigma matrix in SVD from singular values and size M, N. orth(A[, rcond]) | Construct an orthonormal basis for the range of A using SVD null_space(A[, rcond]) | Construct an orthonormal basis for the null space of A using SVD ldl(A[, lower, hermitian, overwrite_a, …]) | Computes the LDLt or Bunch-Kaufman factorization of a symmetric/ hermitian matrix. cholesky(a[, lower, overwrite_a, check_finite]) | Compute the Cholesky decomposition of a matrix. cholesky_banded(ab[, overwrite_ab, lower, …]) | Cholesky decompose a banded Hermitian positive-definite matrix cho_factor(a[, lower, overwrite_a, check_finite]) | Compute the Cholesky decomposition of a matrix, to use in cho_solve cho_solve(c_and_lower, b[, overwrite_b, …]) | Solve the linear equations A x = b, given the Cholesky factorization of A. cho_solve_banded(cb_and_lower, b[, …]) | Solve the linear equations A x = b, given the Cholesky factorization of the banded Hermitian A. polar(a[, side]) | Compute the polar decomposition. qr(a[, overwrite_a, lwork, mode, pivoting, …]) | Compute QR decomposition of a matrix. qr_multiply(a, c[, mode, pivoting, …]) | Calculate the QR decomposition and multiply Q with a matrix. qr_update(Q, R, u, v[, overwrite_qruv, …]) | Rank-k QR update qr_delete(Q, R, k, int p=1[, which, …]) | QR downdate on row or column deletions qr_insert(Q, R, u, k[, which, rcond, …]) | QR update on row or column insertions rq(a[, overwrite_a, lwork, mode, check_finite]) | Compute RQ decomposition of a matrix. qz(A, B[, output, lwork, sort, overwrite_a, …]) | QZ decomposition for generalized eigenvalues of a pair of matrices. ordqz(A, B[, sort, output, overwrite_a, …]) | QZ decomposition for a pair of matrices with reordering. schur(a[, output, lwork, overwrite_a, sort, …]) | Compute Schur decomposition of a matrix. rsf2csf(T, Z[, check_finite]) | Convert real Schur form to complex Schur form. hessenberg(a[, calc_q, overwrite_a, …]) | Compute Hessenberg form of a matrix. cdf2rdf(w, v) | Converts complex eigenvalues w and eigenvectors v to real eigenvalues in a block diagonal form wr and the associated real eigenvectors vr, such that. cossin(X[, p, q, separate, swap_sign, …]) | Compute the cosine-sine (CS) decomposition of an orthogonal/unitary matrix.

See also

scipy.linalg.interpolative – Interpolative matrix decompositions https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.interpolative.html#module-scipy.linalg.interpolative link

## Matrix Functions

Matrix Equation Solvers

指令 | 說明 :——– | :—– solve_sylvester(a, b, q) | Computes a solution (X) to the Sylvester equation . solve_continuous_are(a, b, q, r[, e, s, …]) | Solves the continuous-time algebraic Riccati equation (CARE). solve_discrete_are(a, b, q, r[, e, s, balanced]) | Solves the discrete-time algebraic Riccati equation (DARE). solve_continuous_lyapunov(a, q) | Solves the continuous Lyapunov equation . solve_discrete_lyapunov(a, q[, method]) | Solves the discrete Lyapunov equation .

Sketches and Random Projections

指令 | 說明 :—–| :—— clarkson_woodruff_transform(input_matrix, …) | Applies a Clarkson-Woodruff Transform/sketch to the input matrix.

Special Matrices

指令 | 說明 :—–| :—— block_diag(*arrs) | Create a block diagonal matrix from provided arrays. circulant( c ) | Construct a circulant matrix. companion(a) | Create a companion matrix. convolution_matrix(a, n[, mode]) | Construct a convolution matrix. dft(n[, scale]) | Discrete Fourier transform matrix. fiedler(a) | Returns a symmetric Fiedler matrix fiedler_companion(a) | Returns a Fiedler companion matrix hadamard(n[, dtype]) | Construct an Hadamard matrix. hankel(c[, r]) | Construct a Hankel matrix. helmert(n[, full]) | Create an Helmert matrix of order n. hilbert(n) | Create a Hilbert matrix of order n. invhilbert(n[, exact]) | Compute the inverse of the Hilbert matrix of order n. leslie(f, s) | Create a Leslie matrix. pascal(n[, kind, exact]) | Returns the n x n Pascal matrix. invpascal(n[, kind, exact]) | Returns the inverse of the n x n Pascal matrix. toeplitz(c[, r]) | Construct a Toeplitz matrix. tri(N[, M, k, dtype]) | Construct (N, M) matrix filled with ones at and below the kth diagonal.

Low-level routines

指令 | 說明 :—–| :—— get_blas_funcs(names[, arrays, dtype, ilp64]) | Return available BLAS function objects from names. get_lapack_funcs(names[, arrays, dtype, ilp64]) | Return available LAPACK function objects from names. find_best_blas_type([arrays, dtype]) | Find best-matching BLAS/LAPACK type.

See also

scipy.linalg.blas – Low-level BLAS functions https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.blas.html#module-scipy.linalg.blas link

scipy.linalg.lapack – Low-level LAPACK functions https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.lapack.html#module-scipy.linalg.lapack link

scipy.linalg.cython_blas – Low-level BLAS functions for Cython https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.cython_blas.html#module-scipy.linalg.cython_blas link

scipy.linalg.cython_lapack – Low-level LAPACK functions for Cython https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.cython_lapack.html#module-scipy.linalg.cython_lapack link

Reference

• LU 分解 的現成指令, 只有在 scipy.linalg 與 sympy 有看到,numpy.linalg 則沒有, 兩者都有, cholesky, qr, svd. scipy.linalg 多 lu, shur 等 – Numpy linalg 最新列表: https://numpy.org/devdocs/reference/routines.linalg.html link – SciPy linalg 最新列表: https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/linalg.html#scipy.linalg link

• Numpy Mathematical functions Numpy 的數學函數列表 https://numpy.org/devdocs/reference/routines.math.html link

• [矩阵的QR分解系列一] 施密特(Schmidt)正交规范化, https://blog.csdn.net/honyniu/article/details/109959777 link.

用 Python+Numpy+scipy 執行 Matlab 的矩陣計算 3 產生 numpy 的 數組, 矩陣點乘 等

以下直接以例子講解

以下例子會同步將原生 list 與 numpy 模組 的 np.array() 兩種作比較, 可能讀者剛讀會有點混淆, 只要注意, 有 np. 開頭的就是numpy 模組 的 np.array() , 沒有就是指 原生 list.

Python 的 原生 list(串列 or列表) 是最常用的放資料的容器, 用 [ ] 包住就是

Python 的 原生 list: [a,b,c,d,$\dots$]

>>> [1,2,3,4,5]
[1, 2, 3, 4, 5]
>>> type([1,2,3,4,5])
<class 'list'>

Python 原生最簡單產生數列的方式: range(start, end, stride) ( Matlab: start:stride:end)

range(1,6) 會產生 1,2,3,4,5

>>> range(1,6)
range(1, 6)
>>> type(range(10))
<class 'range'>

他是一個 跌代器 iterator, 為了提高效能, 不會印出來, 要看他的內容, 要用 for loop print 印出來

>>> for i in range(1,6):
  print(i)  
1
2
3
4
5
>>> for i in range(1,6,2):
  print(i)
1
3
5

如果要由大到小 用 令 b>a, range(b,a,-1) 會得到 b,b-1,,,a+1 例如 range(10,5,-1)

>>> for i in range(10,5,-1):
  print(i)
10
9
8
7
6

NumPy 數組 np.array 最簡單產生 numpy 數列的方式: np.arange(start, end, stride) (Matlab: start:stride:end)

產生 a 到 (b-1) 間格 間格 gap, 之 等分點, 可以用以下指令, 指定間格寬度為 gap np.arange(a, b, gap) 就是 np.arange(start, end, stride) arrange 是 array range 的意思, 是 numpy 的指令, 初學容易跟原生的 range 混淆

>>> np.arange(1,6)
array([1, 2, 3, 4, 5])

>>> np.arange(1,6,2)
array([1, 3, 5])
>>> type(np.arange(1,6))
<class 'numpy.ndarray'>
# 反轉
>>> np.arange(10,5,-1)
array([10,  9,  8,  7,  6])

• 以下可以等進階時再細看

  Python 的 原生 list 做 copy 要小心

  Python 的 原生 list 可以放 list在裡面, 可以是較複雜的, 例如　以下, a 串列的元素有純量, 有 list, 也有 dict (字典),

  >>> a = [1,2,3,[4,5,6],'abc',{'a':1,'b':2,'c':3}]
  >>> a
  [1, 2, 3, [4, 5, 6], 'abc', {'a': 1, 'b': 2, 'c': 3}]
  

  註: 因為Python 的 原生 list 可以放一層一層的資料容器在內, 在copy 時會出現不預期的狀況, 後面介紹深拷貝跟淺拷貝, 有點繁瑣, 建議第一次閱讀, 可以跳過. 如果只是要拷貝某個 aList 內容, 不想跟原來的 aList 會有連動, 就用

import copy aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()

執行深複製, 全部(各層)不連動, 避免產生不預期的狀況.

• 以上可以等進階時再細看

list 的 擷取元素與切片 (indexing 與 slicing)

>>> aList = [1,2,3,4,5]
>>> aList
[1, 2, 3, 4, 5]

取用 aList 的其中一個元素, 我們稱為 indexing, 取用第 index 個元素

特別注意 Python 的所有資料的容器(例如 list) 下標是從 0 開始 ( Python, C, JavaScript 下標是從 0 開始 Matlab, R 下標是從 1 開始 )

>>> aList[0]
1
>>> aList[1]
2

取用 aList 的其中一段元素, 我們稱為 slicing (slice 切片)

所謂　slicing 語法, 是指　 n:m 　語法

>>> aList[1:3]
[2, 3]
>>> b = aList[1:3]
>>> b
[2, 3]

b 是 aList 的 slice, a 改變, 不會影響 b ( Python 的 list 之 slice 不會連動) (注意: np.array()的 slice 會連動)

>>> aList[1]=22
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> b
[2, 3]

Python 的 list 不能用 真假值或整數 list 取切片 但是 np.array 可以用 真假值或整數 之 np.array 或 lis 取切片

請參考後面 fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動

>>> aList
[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
>>> aList[[0,2,4]]
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#76>", line 1, in <module>
    aList[[0,2,4]]
TypeError: list indices must be integers or slices, not list

• 以下可以等進階時再細看

  list 複製

  Python 深淺拷貝, 只差在第二層以上 當 list 中含有 list 時, 深淺拷貝才會有差別

  *aCopy1=aList[:] 淺複製, 只有第一層不連動

aCopy1=aList[:] 當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會連動

>>> aList = [1,22,3,4,5]
>>> aCopy1 = aList[:]
>>> aCopy1
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy1[0]=2
>>> aCopy1
[2, 22, 3, 4, 5]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]

對於 aList 是 list 含有 list 時

>>> aList = [1,2,3,4,[1,2,3]]
>>> aCopy = alist[:]
>>> aCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[4][0]=11
>>> aList
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]
>>> aCopy
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]

aCopy=aList.copy() 淺複製, 只有第一層不連動

aCopy=aList.copy() 當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會連動

>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy=aList.copy()
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aCopy is aList
False
>>> aCopy == aList
True
>>> aCopy[0]=2
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, 5]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, 5]

當 list 中含有 list 時, 如果只改變 list 中的 list 的一個元素 時, 淺拷貝還是會連動 當 aList 改變 list 中的 list 的一個元素 時, aCopy 也跟著改了

>>> aList = [1,22,3,4,[1,2,3]]
>>> aList
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aCopy=aList.copy()
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[0]=2
>>> aList
[2, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 2, 3]]
# 當 aList 改變  list 中的 list 的一個元素 時, aCopy 也跟著改了
>>> aList[4][1]=0
>>> aList
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aCopy
[1, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4] == aCopy[4]
True
>>> aList[4] is aCopy[4]
True
>>> aList[0] is aCopy[0]
True
>>> aList is aCopy
False
# 當 aList 改變 其中一個純量元素 時, aCopy 不會改
>>> aList[0]=3
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]

當 aList 改變 list 中的 整個 list 時, 淺拷貝不連動 如果把 list 中的 list, 整條換掉, 似乎指向 list 中的該 list 的位址就改變了, 就把 aList[4] 與 aCopy[4] 的關聯脫鉤了! ( 如果只是更改 aList[4][1], 則 aList[4] 與 aCopy[4] 仍是同位址)

>>> aList[4]=[11,0,33]
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [11, 0, 33]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4][1]=2
>>> aList
[3, 22, 3, 4, [11, 2, 33]]
>>> aCopy
[2, 22, 3, 4, [1, 0, 3]]
>>> aList[4] is aCopy[4]
False

• 以上可以等進階時再細看

深複製, 全部(各層)不連動

import copy aDeepCopy=copy.deepcopy(aList)

>>> import copy
>>> aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#39>", line 1, in <module>
    aDeepCopy=aList.copy.deepcopy()
AttributeError: 'builtin_function_or_method' object has no attribute 'deepcopy'
>>> aDeepCopy=copy.deepcopy(aList)
>>> aDeepCopy
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aDeepCopy is aList
False
>>> aDeepCopy == aList
True

即使 aList 是一個 list 中含有 list, aDeepCopy是深複製得來的, 它還是, 各層都不會與 aList 連動

>>> aList = [1,2,3,4,[1,2,3]]
>>> aDeepCopy = copy.deepcopy(aList)
>>> aDeepCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]
>>> aList[4][0] = 11
>>> aList
[1, 2, 3, 4, [11, 2, 3]]
>>> aDeepCopy
[1, 2, 3, 4, [1, 2, 3]]

複製但連動, 完全一樣

用等號 aListRef = aList, 其實是得到完全一樣

>>> aListRef = aList
>>> aListRef
[1, 22, 3, 4, 5]
>>> aListRef == aList
True
>>> aListRef is aList
True

產生 numpy 的 數組: np.array(), (Matlab: [1,2,3; 4,5,6])

對照: 劉正君, 3.4

>>> import numpy as np
>>> A = np.array([[1,2,3],[4,5,6]]);A
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>> B = np.arange(11,17);B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
>>> B.reshape(3,2)
array([[11, 12],
       [13, 14],
       [15, 16]])

產生 numpy 的 數組: 各類特殊矩陣: 零矩陣、都是1的矩陣、 單位矩陣(對角線為1之矩陣)、 取用對角線矩陣、 上三角矩陣

ref: 劉正君, 3.6. 3

zeros filled array 零矩陣 (Matlab: zeros(3,5))

>>> a = np.zeros(5)
>>> a
array([0., 0., 0.,>>> a1 = np.zeros([5,5])
>>> a1
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]]) 0., 0.])
# 注意, 維度用 [5,5] 包住
>>> a1 = np.ones(5,5);a1
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#5>", line 1, in <module>
    a1 = np.ones(5,5);a1
  File "C:\Users\user\AppData\Local\Programs\Python\Python38-32\lib\site-packages\numpy\core\numeric.py", line 207, in ones
    a = empty(shape, dtype, order)
TypeError: data type not understood

ones filled array 1矩陣 (Matlab: ones(3,5))

>>> b = np.ones(5)
>>> b
array([1., 1., 1., 1., 1.])
>>> b1 = np.ones([5,5])
>>> b1
array([[1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.],
       [1., 1., 1., 1., 1.]])

any number filled array 任意數字填滿矩陣 (Matlab: ones(3,5)*9 )

>>> b2 = b1*3
>>> b2
array([[3., 3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3., 3.],
       [3., 3., 3., 3., 3.]])

identity array 單位矩陣(對角線矩陣) (Matlab: eye(3))

>>> c = np.eye(4)
>>> c
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]])
>>> c1 = np.identity(4)
>>> c1
array([[1., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 1.]])

給定 np.array a 取用a 的對角線 (Matlab: diag(a), diag(a,0))

>>> a
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6],
       [7, 8, 9]])
>>> a_diag = np.diag(a)
>>> a_diag
array([1, 5, 9])
>>> a_diag2d = a_diag*np.eye(3)
>>> a_diag2d
array([[1., 0., 0.],
       [0., 5., 0.],
       [0., 0., 9.]])

隨機數組 (Matlab: rand(3,4))

>>> a_rand = np.random.rand(3,4)
>>> a_rand
array([[0.65543729, 0.32649166, 0.21621299, 0.58931067],
       [0.7932652 , 0.35415987, 0.83885435, 0.02375679],
       [0.01526737, 0.95740181, 0.36366563, 0.66846968]])

改變形狀 np.reshape()、 np.resize() (Matlab: reshape(1:6,3,2))

注意: 使用 reshape()時, 原array沒改變!

>>> B=np.array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
>>> B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])
# 將 B reshape() 後的 array指定給 B1
>>> B1 = B.reshape(2,3)
>>> B1
array([[11, 12, 13],
       [14, 15, 16]])
# B 原 array 沒改變
>>> B
array([11, 12, 13, 14, 15, 16])

注意 A.reshape 後指定給另一個名稱, 例如 A_reform, A 與 A_reform 會連動,

>>> A = np.arange(1,11)
>>> A
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])
>>> A.reshape(2,5)
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 6,  7,  8,  9, 10]])
>>> A
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])
>>> A_reform=A.reshape(2,5)
>>> A_reform
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 6,  7,  8,  9, 10]])
>>> A_reform[1,2]
8
>>> A_reform[1,2]=18
>>> A_reform
array([[ 1,  2,  3,  4,  5],
       [ 6,  7, 18,  9, 10]])
>>> A
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7, 18,  9, 10])

注意: 使用 resize()時, 原array會改變!

>>> B2 = np.resize(B,(3,2))
>>> B2
array([[11, 12],
       [13, 14],
       [15, 16]])
>>> B
array([[11, 12],
       [13, 14],
       [15, 16]])

用 B2 = B.resize(3,2)會出錯

>>> B2 = B.resize(3,2)
>>> B2
>>> B2[0]
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#46>", line 1, in <module>
    B2[0]
TypeError: 'NoneType' object is not subscriptable

np.array()的元素可以是那些？

基本上就是整數、浮點數、複數、字串等

>>> np.typeDict.values()
dict_values([<class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float16'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.void'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.datetime64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.timedelta64'>, <class 'numpy.uint32'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.int64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.uint64'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.int16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.uint16'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.int8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.uint8'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.float32'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.complex64'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.intc'>, <class 'numpy.uintc'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.longdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.clongdouble'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.int32'>, <class 'numpy.float64'>, <class 'numpy.complex128'>, <class 'numpy.bool_'>, <class 'numpy.object_'>, <class 'numpy.str_'>, <class 'numpy.bytes_'>, <class 'numpy.bytes_'>])

如果元素是 list, 或是 np.array 的類型,也可以

>>> a=np.array(['a','b',[1,2]])
>>> a
array(['a', 'b', list([1, 2])], dtype=object)
>>> a=np.array(['a','b',np.array([1,2])])
>>> a
array(['a', 'b', array([1, 2])], dtype=object)
>>> a[0]
'a'
>>> a[2]
array([1, 2])

為何不用 Python 的 原生 list 來執行類似數組的操作?

Ans:

1. NumPy 的 array 是用 C 的 知名線性代數工具庫 去計算, 而 list 的效能並沒有用 C 優化,
2. NumPy 的 array 允許用真假值(布林值)或整數 之 list 或 真假值(布林值)或整數 之 np.array 做下標集, 提取內容, 但 list 無此功能

有關上面 2. 的測試: 產生一個 Python 的 原生 list

# 產生一個 Python 的 原生 list
>>> aList = [0,1,2,3,4,5]
>>> aList
[0, 1, 2, 3, 4, 5]
# 定義一個真假值(布林值) list
>>> booleanIndex = [ True, False, True, False, True, False]
# 用真假值(布林值)做下標集, 提取
# 出現錯誤訊息, 顯示, list 的 下標集只能用單一整數或是 slices 切片(用 n:m 語法）
>>> aList[booleanIndex]
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#3>", line 1, in <module>
    aList[booleanIndex]
TypeError: list indices must be integers or slices, not list

產生一個 np 的 array, 用跟上面一樣的真假值(布林值) list: booleanIndex 去提取內容, 發現可以!

>>> import numpy as np
>>> aArray = np.array([0,1,2,3,4,5])
>>> aArray
array([0, 1, 2, 3, 4, 5])
>>> aArray[booleanIndex]
array([0, 2, 4])
>>> 

請參考後面 fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動

A 的長寬高 A.shape(), A 的元素個數 A.size (Matlab: size(A), length(A))

array (或matrix) 常需要維度的訊息

>>> A.shape
(2, 3)
>>> np.shape(A)
(2, 3)
>>> len(A)
2
>>> B.shape
(6,)
>>> B1.shape
(3, 2)
>>> B2.shape
(2, 3)

>>> A.size
6
>>> np.size(A)
6

A 的維度有幾維 A.ndim (Matlab: ndims(A))

以下Ａrray 有3維 在操作線性代數時, 有時會需要知道該數組的維度有幾維

>>> aArray = np.array([[[1,2,3],[4,5,6]],[[7,8,9],[10,11,12]]])
>>> aArray
array([[[ 1,  2,  3],
        [ 4,  5,  6]],

       [[ 7,  8,  9],
        [10, 11, 12]]])
>>> aArray.ndim
3

此時 A 與 B1的維度相合, 就可以進行矩陣相乘

矩陣相乘

• 在 Matlab 中是用 A * B1,
• 在 numpy中用 numpy.dot(A, B1), 或是
• numpy.matmul(A,B1)

>>> np.dot(A,B1)
array([[ 82,  88],
       [199, 214]])
>>> np.matmul(A,B1)
array([[ 82,  88],
       [199, 214]])

矩陣點乘

• 在 Matlab 中是用 A .* B
• 在 numpy中用 A*B

>>> B2=B.reshape(2,3)
>>> B2
array([[11, 12, 13],
       [14, 15, 16]])
>>> A*B2
array([[11, 24, 39],
       [56, 75, 96]])
>>> np.multiply(A,B2)
array([[11, 24, 39],
       [56, 75, 96]])

矩陣點除

• 在 Matlab 中是用 A ./ B
• 在 numpy中用 A/B

  >>> A/B2
  array([[0.09090909, 0.16666667, 0.23076923],
       [0.28571429, 0.33333333, 0.375     ]])
  

  矩陣複製

  np 中最常出錯的是對一個array 做 copy 的動作 ref: Scipy lecture notes, Edition 2020.1: sec 4.1.6 copy and view **ref: 何敏煌, Python 程式設計實務, sec 6.3.5: a is b **

  如果直接用 A1= A

  則得到一個完全一樣的 A, 只是多一個別名叫 A1 而已, 此時你改變 A1, 就等於改變A, A 與 A1 都指向同一個位址

  >>> A1 = A
  >>> A1 is A
  True
  >>> A.shape
  (2, 3)
  >>> A1.shape
  (2, 3)
  >>> A1.shape=(3,2)
  >>> A1.shape
  (3, 2)
  >>> A.shape
  (3, 2)
  >>> A
  array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
  >>> A1
  array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
  >>> id(A)
  60451360
  >>> id(A1)
  60451360
  

  切片是 view 會連動

  view 是(淺層)拷貝 (shallow) copy 取 slicing 就是 view 當 S 是 A 的 slice, 改變 S, 也會改變 A, 會連動

  >>> A
  array([[1, 2],
       [3, 4],
       [5, 6]])
  >>> S = A[:,1]
  >>> S
  array([2, 4, 6])
  >>> S[:] = 10
  >>> S
  array([10, 10, 10])
  >>> A
  array([[ 1, 10],
       [ 3, 10],
       [ 5, 10]])
  

  copy(), id()

  copy 是(深層)拷貝 (deep) copy D = A.copy(), 則D 的資料與 A 一樣, 但是, 位址不同, 改變D, 與 A 無關! ```python

  D = A.copy() D array([[ 1, 10], [ 3, 10], [ 5, 10]]) D is A False D[0,:]=9 D array([[ 9, 9], [ 3, 10], [ 5, 10]]) A array([[ 1, 10], [ 3, 10], [ 5, 10]])

id(A) 60451360 id(D) 206144320 ```

fancy indexing: np.array 的切片可以用 真假值之 list 或整數 之 list 或 np.array 做下標集, 提取內容, 但不連動

NumPy 的 array 允許用真假值(布林值)或整數 之 list 或 真假值(布林值)或整數 之 np.array 做下標集, 提取內容(但 list 無此功能), 與原來的 array 不連動, scipy lecture notes 稱此為 fancy indexing.

ref: Scipy lecture notes, Edition 2020.1: sec4.1.7 Fancy indexing

以下用 整數 之 list 取切片, 不連動

>>> import numpy as np
>>> aArray = np.array([1,2,3,4,5])
>>> aArray
array([1, 2, 3, 4, 5])
>>> aArray[[0,1,4]]
array([1, 2, 5])
>>> bArray = aArray[[0,1,4]]
>>> bArray
array([1, 2, 5])
>>> aArray[0]=22
>>> aArray
array([22,  2,  3,  4,  5])
>>> bArray
array([1, 2, 5])
>>> bArray[0]=11
>>> bArray
array([11,  2,  5])
>>> aArray
array([22,  2,  3,  4,  5])
>>> arrayIndex = np.array([1,2,4])
>>> arrayIndex
array([1, 2, 4])
>>> bArray = aArray[arrayIndex]
>>> bArray
array([2, 3, 5])

以下用 整數 之 np.array 取切片, 不連動

>>> arrayIndex = np.array([0,1,4])
>>> arrayIndex
array([0, 1, 4])
>>> bArray = aArray[arrayIndex]
>>> bArray
array([22,  2,  5])
>>> aArray[0]=222
>>> aArray
array([222,   2,   3,   4,   5])
>>> bArray
array([22,  2,  5])

NumPy 的 速查簡表

Ref: 以下我們參考: Python Numpy全世界最長基礎教程最適合小白學習 還詳細很全速拿, https://twgreatdaily.com/AhWyTG8BMH2_cNUgWU4g.html link.

一、數組方法

創建數組：arange()創建一維數組；array()創建一維或多維數組，其參數是類似於數組的對象，如列表等

創建數組：np.zeros((2,3))，或者np.ones((2,3))，參數是一個元組分別表示行數和列數

對應元素相乘，a * b，得到一個新的矩陣，形狀要一致；但是允許a是向量而b是矩陣，a的列數必須等於b的列數，a與每個行向量點乘

• • / 與 * 的運算規則相同。

數學上定義的矩陣乘法 np.dot(a, b)。如果形狀不匹配會報錯；但是允許允許a和b都是向量，返回兩個向量的內積。只要有一個參數不是向量，就應用矩陣乘法。

（PS：總之就是，向量很特殊，在運算中可以自由轉置而不會出錯，運算的返回值如果維度為1，也一律用行向量[]表示）

讀取數組元素：如a[0],a[0,0]

數組變形：如b=a.reshape(2,3,4)將得到原數組變為234的三維數組後的數組；或是a.shape=(2,3,4)或a.resize(2,3,4)直接改變數組a的形狀

數組組合：水平組合hstack((a,b))或concatenate（（a,b）,axis=1）;垂直組合vstack((a,b))或concatenate（（a,b）,axis=0）;深度組合dstack((a,b))

數組分割（與數組組合相反）：分別有hsplit,vsplit,dsplit,split(split與concatenate相對應)

將np數組變為py列表：a.tolist()

數組排序（小到大）：列排列np.msort(a)，行排列np.sort(a)，np.argsort(a)排序後返回下標

複數排序：np.sort_complex(a)按先實部後虛部排序

數組的插入：np.searchsorted(a,b)將b插入原有序數組a，並返回插入元素的索引值

類型轉換：如a.astype(int)，np的數據類型比py豐富，且每種類型都有轉換方法

條件查找，返回滿足條件的數組元素的索引值：np.where(條件)

條件查找，返回下標：np.argwhere(條件)

>>> A
array([ 1,  4,  7, 10])
>>> np.argwhere(A==7)
array([[2]], dtype=int64)
>>> np.where(A==7)
(array([2], dtype=int64),)
>>> np.where(A%2==0)
(array([1, 3], dtype=int64),)
>>> np.argwhere(A%2==0)
array([[1],
       [3]], dtype=int64)

條件查找，返回滿足條件的數組元素：np.extract([條件],a)

根據b中元素作為索引，查找a中對應元素：np.take(a,b)一維

數組中最小最大元素的索引：np.argmin(a)，np.argmax(a)

多個數組的對應位置上元素大小的比較：np.maximum(a,b,c,…..)返回每個索引位置上的最大值，np.minimum(…….)相反

將a中元素都置為b：a.fill(b)

每個數組元素的指數：np.exp(a)

生成等差行向量：如np.linspace(1,6,10)則得到1到6之間的均勻分布，總共返回10個數

求余：np.mod(a,n)相當於a%n，np.fmod(a,n)仍為求余且餘數的正負由a決定

計算平均值：np.mean(a)

計算最大值：amax(a, axis=None, out=None, keepdims=False) 。Return the maximum of an array or maximum along an axis.

計算加權平均值：np.average(a,b),其中b是權重

計算數組的極差：np.pth(a)=max(a)-min(a)

計算方差（總體方差）：np.var(a)

標準差：np.std(a)

算術平方根，a為浮點數類型：np.sqrt(a)

對數：np.log(a)

修剪數組，將數組中小於x的數均換為x，大於y的數均換為y：a.clip(x,y)

所有數組元素乘積：a.prod()

數組元素的累積乘積：a.cumprod()

數組元素的符號：np.sign(a)，返回數組中各元素的正負符號，用1和-1表示

數組元素分類：np.piecewise(a,[條件]，[返回值])，分段給定取值，根據判斷條件給元素分類，並返回設定的返回值。

判斷兩數組是否相等： np.array_equal(a,b)

判斷數組元素是否為實數： np.isreal(a)

去除數組中首尾為0的元素：np.trim_zeros(a)

對浮點數取整，但不改變浮點數類型：np.rint(a)

二、數組屬性

1.獲取數組每一維度的大小：a.shape

2.獲取數組維度：a.ndim

3.元素個數：a.size

4.數組元素在內存中的字節數：a.itemsize

5.數組字節數：a.nbytes==a.size*a.itemsize

6.數組元素覆蓋：a.flat=1，則a中數組元素都被1覆蓋

7.數組轉置：a.T

不能求逆、求協方差、跡等，不適用於複雜科學計算，可以將array轉換成matrix。

三、矩陣方法

==np.mat(『…』) 官網已建議不要使用== 創建矩陣：np.mat(『…』)通過字符串格式創建，np.mat(a)通過array數組創建，也可用matrix或bmat函數創建

創建複合矩陣：np.bmat(『A B』,』AB』)，用A和B創建複合矩陣AB（字符串格式）

創建n*n維單位矩陣：np.eye(n)

矩陣的轉置：A.T

矩陣的逆矩陣：A.I

計算協方差矩陣：np.cov(x)，np.cov(x,y)

計算矩陣的跡（對角線元素和）：a.trace()

相關係數：np.corrcoef(x,y)

給出對角線元素：a.diagonal()

四、線性代數

估計線性模型中的係數：a=np.linalg.lstsq(x,b),有b=a*x

求方陣的逆矩陣：np.linalg.inv(A)

求廣義逆矩陣：np.linalg.pinv(A)

求矩陣的行列式：np.linalg.det(A)

解形如AX=b的線性方程組：np.linalg.solve(A,b)

求矩陣的特徵值：np.linalg.eigvals（A）

求特徵值和特徵向量：np.linalg.eig(A)

Svd分解：np.linalg.svd(A)

五、機率分布

產生二項分布的隨機數：np.random.binomial(n,p,size=…)，其中n,p,size分別是每輪試驗次數、機率、輪數

產生超幾何分布隨機數：np.random.hypergeometric(n1,n2,n,size=…)，其中參數意義分別是物件1總量、物件2總量、每次採樣數、試驗次數

產生N個正態分布的隨機數：np.random.normal(均值，標準差，N)

產生N個對數正態分布的隨機數：np.random.lognormal(mean,sigma,N)

六、多項式

多項式擬合：poly= np.polyfit(x,a,n),擬合點集a得到n級多項式，其中x為橫軸長度，返回多項式的係數

多項式求導函數：np.polyder(poly),返回導函數的係數

得到多項式的n階導函數：多項式.deriv(m = n)

多項式求根：np.roots(poly)

多項式在某點上的值：np.polyval(poly,x[n]),返回poly多項式在橫軸點上x[n]上的值

兩個多項式做差運算： np.polysub(a,b)

Matpoltlib簡單繪圖方法

引入簡單繪圖的包import matplotlib.pyplot as plt，最後用plt.show()顯示圖像

基本畫圖方法：plt.plot(x,y)，plt.xlabel(『x』)，plt.ylabel(『y』)，plt.title(『…』)

子圖：plt.subplot(abc)，其中abc分別表示子圖行數、列數、序號

創建繪圖組件的頂層容器：fig = plt.figure()

添加子圖：ax = fig.add_subplot(abc)

設置橫軸上的主定位器：ax.xaxis.set_major_locator(…)

繪製方圖：plt.hist(a,b)，a為長方形的左橫坐標值，b為柱高

繪製散點圖：plt.scatter(x,y,c = 『..』,s = ..)，c表示顏色，s表示大小

添加網格線：plt.grid(True)

添加注釋：如ax.annotate(‘x’, xy=xpoint, textcoords=’offsetpoints’,xytext=(-50, 30), arrowprops=dict(arrowstyle=”->”))

增加圖例：如plt.legend(loc=’best’, fancybox=True)

對坐標取對數：橫坐標plt.semilogx()，縱坐標plt.semilogy()，橫縱同時plt.loglog()

NumPy 與 Matlab, R, Octave 等的對照速查簡表

可以參考以下 References.

References

• Python Numpy全世界最長基礎教程最適合小白學習 還詳細很全速拿, https://twgreatdaily.com/AhWyTG8BMH2_cNUgWU4g.html link.

Python NumPy 與 Matlab, R, Octave 等的對照:

• Thesaurus of Mathematical Languages, or MATLAB synonymous commands in Python/NumPy 列出 Matlab, Python, R, Octave等, 相對應的指令, 有 pdf檔. Copyright ©2006,2008 Vidar Bronken Gundersen, http://mathesaurus.sf.net/ link

• NumPy for Matlab users 列出 Matlab, Python 相對應的指令. https://numpy.org/doc/stable/user/numpy-for-matlab-users.html link

用 Python+Numpy+scipy 執行矩陣計算 4 向量與矩陣運算

執行線代的例子

Ref: Clever B Moler, Numerical computing with Matlab Moler的書: Ch2 線性代數

線性聯立方程指令求解

\(Ax=B\) \(\left( \begin{array}{c c} 10 & -7 & 0 \\ -3 & 2 & 6 \\ 5 & -1 & 5 \\ \end{array} \right) \left( \begin{array}{c c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)\\\) where \(A = \left( \begin{array}{c c} 10 & -7 & 0 \\ -3 & 2 & 6 \\ 5 & -1 & 5 \\ \end{array} \right)\\ x = \left( \begin{array}{c c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ \end{array} \right)\\ B= \left( \begin{array}{c c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \\ \end{array} \right)\)

Matalb 的指令 x=A\B

x=A\B

Python + np + scipy 的指令 x= scipy.linalg.solve(A,B)

>>> import numpy as np
>>> A=np.array([[10,-7,0],[-3,2,6],[5,-1,5]])
>>> A
array([[10, -7,  0],
       [-3,  2,  6],
       [ 5, -1,  5]])
>>> B = np.array([7,4,6])
>>> B
array([7, 4, 6])
>>> x=A\B
SyntaxError: unexpected character after line continuation character
>>> from scipy import linalg
>>> x= scipy.linalg.solve(A,B)
>>> x
array([ 0., -1.,  1.])

可以檢查解出之x 是否為解, 計算 Ax 看是否會等於 B np.dot(A,x)

>>> np.dot(A,x)
array([7., 4., 6.])

發現與 B 相等, 解為正確

Moler 的書: 2.4 排列矩陣

NumPy 排列可以用 np.random.permutation()

Python 內建的 random 模組可以用

random.shuffle() 隨機洗牌 random.sample() 隨機抽樣

>>> permu=np.random.permutation(5)
>>> permu
array([2, 0, 3, 1, 4])
>>> permu=np.random.permutation(5);permu
array([4, 0, 1, 2, 3])
>>> import random
>>> data = [1,2,3,4,5,6,7]
>>> random.shuffle(data)
>>> data
[7, 1, 3, 4, 5, 6, 2]
>>> random.sample([1,2,3,4],2)
[4, 2]
>>> random.sample([1,2,3,4],4)
[2, 4, 1, 3]
>>> random.sample([1,2,3,4,5],5)
[3, 2, 4, 5, 1]
>>> random.sample([1,2,3,4,5],5)
[1, 2, 4, 3, 5]

產生一個排列矩陣

>>> permu=random.sample(range(5),5)
>>> permu
[3, 4, 0, 1, 2]
>>> P=np.zeros((5,5));P
array([[0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]])
>>> P[0,permu[0]]=1
>>> P
array([[0., 0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 0.]])

>>> for i in range(5):
  P[i,permu[i]]=1

  
>>> P
array([[0., 0., 0., 1., 0.],
       [0., 0., 0., 0., 1.],
       [1., 0., 0., 0., 0.],
       [0., 1., 0., 0., 0.],
       [0., 0., 1., 0., 0.]])

向量(點列)之操作

Ref: 劉正君, ch3 向量與矩陣運算, Matlab 科學計算與可視化仿真, 電子工業.

產生點列 np.arange(start, end, stride) ( Matlab start:stride:end)

此指令強調切完之後的間格為 stride (預設是1). 產生 a 到 (b-1) 間格 gap, 之 等分點, 可以用以下指令, 指定間格寬度為 gap np.arange(a, b, gap) 就是 np.arange(start, end, stride) arrange 是 array range 的意思, 是 numpy 的指令, 初學容易跟原生的 range 混淆

>>> np.arange(1,6)
array([1, 2, 3, 4, 5])

>>> np.arange(1,6,2)
array([1, 3, 5])
>>> type(np.arange(1,6))
<class 'numpy.ndarray'>
# 反轉
>>> np.arange(10,5,-1)
array([10,  9,  8,  7,  6])

>>> a= np.arange(1,50,1)
>>> a
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
       18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
       35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49])
>>> np.arange(10,0,-1)
array([10,  9,  8,  7,  6,  5,  4,  3,  2,  1])

切割成共 k 個點 np.linspace(n, m, k) ( Matlab linspace(n, m, k))

此指令強調切完之後的點數為 k. 對初學學者容易誤會, 要小心!!

為切成含頭尾等分之總共 k 個點, 有 k-1個間格, 間格長度為 (m-n)/(k-1)

a=np.linspace(0,1,11) 則切成含頭尾等分之11個點 (小心: 切10個間格,間格1/10, 含頭尾兩點總共11個點) array([0. , 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1. ])

如果下 a=np.linspace(0,1,10), 則為切9個間格, 間格1/9, 含頭尾總共10個點

array([0.        , 0.11111111, 0.22222222, 0.33333333, 0.44444444,
       0.55555556, 0.66666667, 0.77777778, 0.88888889, 1.        ])

這種結果, 很可能不是你的原意!

如果沒也指定 k, 也就是沒有指定切割成多少點, 則預設切成含頭尾共50個點 a=np.linspace(0,49) 從0到49, 預設切成等分之 含頭尾共50個點 (間格 1)

array([ 0.,  1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10., 11., 12.,
       13., 14., 15., 16., 17., 18., 19., 20., 21., 22., 23., 24., 25.,
       26., 27., 28., 29., 30., 31., 32., 33., 34., 35., 36., 37., 38.,
       39., 40., 41., 42., 43., 44., 45., 46., 47., 48., 49.])

如果是以下, 則間格不是 1, 是 50/49 a=np.linspace(0,50)

array([ 0.        ,  1.02040816,  2.04081633,  3.06122449,  4.08163265,
        5.10204082,  6.12244898,  7.14285714,  8.16326531,  9.18367347,
       10.20408163, 11.2244898 , 12.24489796, 13.26530612, 14.28571429,
       15.30612245, 16.32653061, 17.34693878, 18.36734694, 19.3877551 ,
       20.40816327, 21.42857143, 22.44897959, 23.46938776, 24.48979592,
       25.51020408, 26.53061224, 27.55102041, 28.57142857, 29.59183673,
       30.6122449 , 31.63265306, 32.65306122, 33.67346939, 34.69387755,
       35.71428571, 36.73469388, 37.75510204, 38.7755102 , 39.79591837,
       40.81632653, 41.83673469, 42.85714286, 43.87755102, 44.89795918,
       45.91836735, 46.93877551, 47.95918367, 48.97959184, 50.        ])

如果要 0~50 間格1 等分, 可以用以下指令較順, 指定間格寬度為1 np.arange(start, end, stride) ( Matlab start:stride:end)

>>>a= np.arange(1,50,1)
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
       18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
       35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49])

簡而言之 a=np.linspace(n, m, k), 切割 n 到 m, 為指定含頭尾總共 k 個點, 此指令強調切完之後的點數為 k (預設含頭尾共50個點). a= np.arange(n, m, s), 切割 n 到 m, 指定間格寬度為 s, np.arange(start, end, stride), 此指令強調切完之後的間格為 stride (預設是1).

>>> import numpy as np
>>> a=np.array(range(1,11))
>>> a
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10])
>>> a=np.linspace(1,10,10)
>>> a
array([ 1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10.])
>>> a=np.linspace(0,1,11)
>>> a
array([0. , 0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9, 1. ])
>>> a=np.linspace(0,1,10)
>>> a
array([0.        , 0.11111111, 0.22222222, 0.33333333, 0.44444444,
       0.55555556, 0.66666667, 0.77777778, 0.88888889, 1.        ])
>>> a=np.linspace(0,49)
>>> a
array([ 0.,  1.,  2.,  3.,  4.,  5.,  6.,  7.,  8.,  9., 10., 11., 12.,
       13., 14., 15., 16., 17., 18., 19., 20., 21., 22., 23., 24., 25.,
       26., 27., 28., 29., 30., 31., 32., 33., 34., 35., 36., 37., 38.,
       39., 40., 41., 42., 43., 44., 45., 46., 47., 48., 49.])
>>> a=np.linspace(0,50)
>>> a
array([ 0.        ,  1.02040816,  2.04081633,  3.06122449,  4.08163265,
        5.10204082,  6.12244898,  7.14285714,  8.16326531,  9.18367347,
       10.20408163, 11.2244898 , 12.24489796, 13.26530612, 14.28571429,
       15.30612245, 16.32653061, 17.34693878, 18.36734694, 19.3877551 ,
       20.40816327, 21.42857143, 22.44897959, 23.46938776, 24.48979592,
       25.51020408, 26.53061224, 27.55102041, 28.57142857, 29.59183673,
       30.6122449 , 31.63265306, 32.65306122, 33.67346939, 34.69387755,
       35.71428571, 36.73469388, 37.75510204, 38.7755102 , 39.79591837,
       40.81632653, 41.83673469, 42.85714286, 43.87755102, 44.89795918,
       45.91836735, 46.93877551, 47.95918367, 48.97959184, 50.        ])
>>> 50/49
1.0204081632653061
>>> a= np.arange(1,50,1)
>>> a
array([ 1,  2,  3,  4,  5,  6,  7,  8,  9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17,
       18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34,
       35, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49])

3.2.4 向量內積(矩陣點乘)　 np.dot(u,v), np.vdot(u,v) (Matlab dot(u,v))

>>> aArray = np.array([1,2,3,4,5])
>>> bArray = np.array([11,12,13,14,15])
>>> np.dot(aArray,bArray)
205
>>> np.vdot(aArray,bArray)
205

3.2.3 向量外積　 np.cross(u,v) (Matlab cross(u,v))

只能用 3 維的向量

>>> a3dArray = np.array([1,2,3])
>>> b3dArray = np.array([11,12,13])
>>> np.cross(a3dArray,b3dArray)
array([-10,  20, -10])

3.2.６ 反轉向量(或list)　(Matlab: y=wrev(x))

令 b>a, arange(b,a,-1) 會得到 b,b-1,,,a+1 (令 b>a, range(b,a,-1) 會得到 b,b-1,,,a+1, 是原生的 range() )

>>> for i in range(5,1,-1):
  print(i)
5
4
3
2

>>> a= np.array([11,12,13,14,15])
>>>> np.arange(4,0,-1)
array([4, 3, 2, 1])
>>> a[np.arange(4,0,-1)]
array([15, 14, 13, 12])

原生 list 用 list.reverse() 反轉list

>>> a=[1,2,3,4,5]
>>> a.reverse()
>>> a
[5, 4, 3, 2, 1]

np.array 無此 a.reverse() 指令, (1D np.array 可以用緊接此處之後提到的 reversed(a) )

>>> a=np.array([1,2,3,4,5])
>>> a.reverse()
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#75>", line 1, in <module>
    a.reverse()
AttributeError: 'numpy.ndarray' object has no attribute 'reverse'

原生 list 或 1d 的 np.array 可以用 reversed() 反轉向量

ref: 猿媛之家, Python 程序員面試筆試寶典, 機械工業出版, 2.6.8. reversed() 是內建的指令(built-in function), 可以用在 序列類 或 1d 的 np.array 都可以, reversed(a) 不會改變 a, reversed() 傳回一個迭代器 iterator, 必須用 for print才看的到內容:

>>> for i in reversed(np.array([5,4,3,2,1])):
  print(i)
1
2
3
4
5

reversed() 用在 序列類, 會傳回一個迭代器 iterator
>>> reversed([5,4,3,2,1])
<list_reverseiterator object at 0x03016E68>
>>> for i in reversed([5,4,3,2,1]):
  print(i)
1
2
3
4
5

如果是用在 2d np.array, 則只是調換 row 的次序

>>> np.array([[1,2,3],[4,5,6]])
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>> for i in reversed(np.array([[1,2,3],[4,5,6]])):
  print(i)

[4 5 6]
[1 2 3]

Ex: 寫一個可以反轉 2d np.array 的函數 Ans:

# 43鄭蕙倪 40王培瑜 36董伊真 33何宛庭 23李鈞菱 4林姵綺
# EX：寫一個可以反轉 2d np.array 的函數
import numpy as np
arr2D=np.array([[11,12,13,14],[54,55,56,57]])
reversedArr=np.flip(arr2D)
print(reversedArr)

sort 排序 list.sort(), sorted(a) (Matlab: y=wrev(x))

ref: Sorting how to, https://github.com/python/cpython/blob/3.8/Doc/howto/sorting.rst link “Python lists have a built-in list.sort() method that modifies the list in-place. There is also a sorted() built-in function that builds a new sorted list from an iterable.” 官網的 sorting how to 這篇, 講到, list.sort() 是 list 類內建的指令, sorted()則是 built-in funciton, 所有的 iterable 都可以, 所謂 iterable 氏只有順序的容器, 例如 list, tuple, dict 等, 但是只有原生的可以, 例如第三方庫的纇 np.array 後面示例不行,

a.sort() 會改變 a, 原生 list 有, np.array 也有此指令

>>> a = [3,1,5,6,4]
>>> a.sort()
>>> a
[1, 3, 4, 5, 6]

b = sorted(a) 不會改變 a, 原生 list 有, 只可用在 1d 的 np.array

>>> a = [3,1,5,6,4]
>>> b = sorted(a)
>>> a
[3, 1, 5, 6, 4]
>>> b
[1, 3, 4, 5, 6]

a.sort(), 可用在 所有維度的 np.array 但是 sorted(a) 只可用在 1d 的 np.array

>>> a = np.array([3,1,2])
>>> a.sort()
>>> a
array([1, 2, 3])
>>> a = np.array([3,1,2])
>>> b = sorted(a)
>>> a
array([3, 1, 2])
>>> b
[1, 2, 3]

2D np.array 只有 a.sort() 可以用

>>> a2D = np.array([[3,1,2],[5,4,6]])
>>> a2D
array([[3, 1, 2],
       [5, 4, 6]])
>>> a2D.sort()
>>> a2D
array([[1, 2, 3],
       [4, 5, 6]])
>>> a2D = np.array([[3,1,2],[5,4,6]])
>>> b2D = sorted(a2D)
Traceback (most recent call last):
  File "<pyshell#65>", line 1, in <module>
    b2D = sorted(a2D)
ValueError: The truth value of an array with more than one element is ambiguous. Use a.any() or a.all()

reversed(), sorted() 都是 built-in functions

>>> dir(__builtins__)
['ArithmeticError', 'AssertionError', 'AttributeError', 'BaseException', 'BlockingIOError', 'BrokenPipeError', 'BufferError', 'BytesWarning', 'ChildProcessError', 'ConnectionAbortedError', 'ConnectionError', 'ConnectionRefusedError', 'ConnectionResetError', 'DeprecationWarning', 'EOFError', 'Ellipsis', 'EnvironmentError', 'Exception', 'False', 'FileExistsError', 'FileNotFoundError', 'FloatingPointError', 'FutureWarning', 'GeneratorExit', 'IOError', 'ImportError', 'ImportWarning', 'IndentationError', 'IndexError', 'InterruptedError', 'IsADirectoryError', 'KeyError', 'KeyboardInterrupt', 'LookupError', 'MemoryError', 'ModuleNotFoundError', 'NameError', 'None', 'NotADirectoryError', 'NotImplemented', 'NotImplementedError', 'OSError', 'OverflowError', 'PendingDeprecationWarning', 'PermissionError', 'ProcessLookupError', 'RecursionError', 'ReferenceError', 'ResourceWarning', 'RuntimeError', 'RuntimeWarning', 'StopAsyncIteration', 'StopIteration', 'SyntaxError', 'SyntaxWarning', 'SystemError', 'SystemExit', 'TabError', 'TimeoutError', 'True', 'TypeError', 'UnboundLocalError', 'UnicodeDecodeError', 'UnicodeEncodeError', 'UnicodeError', 'UnicodeTranslateError', 'UnicodeWarning', 'UserWarning', 'ValueError', 'Warning', 'WindowsError', 'ZeroDivisionError', '_', '__build_class__', '__debug__', '__doc__', '__import__', '__loader__', '__name__', '__package__', '__spec__', 'abs', 'all', 'any', 'ascii', 'bin', 'bool', 'breakpoint', 'bytearray', 'bytes', 'callable', 'chr', 'classmethod', 'compile', 'complex', 'copyright', 'credits', 'delattr', 'dict', 'dir', 'divmod', 'enumerate', 'eval', 'exec', 'exit', 'filter', 'float', 'format', 'frozenset', 'getattr', 'globals', 'hasattr', 'hash', 'help', 'hex', 'id', 'input', 'int', 'isinstance', 'issubclass', 'iter', 'len', 'license', 'list', 'locals', 'map', 'max', 'memoryview', 'min', 'next', 'object', 'oct', 'open', 'ord', 'pow', 'print', 'property', 'quit', 'range', 'repr', 'reversed', 'round', 'set', 'setattr', 'slice', 'sorted', 'staticmethod', 'str', 'sum', 'super', 'tuple', 'type', 'vars', 'zip']