數學符號展示 (5)：複變函數與複分析

本文展示複變函數與複分析相關的數學符號渲染效果。

複數基礎

複數表示

• 代數形式：\(z = a + bi\)，其中 \(a, b \in \mathbb{R}\)，\(i = \sqrt{-1}\)
• 指數形式：\(z = re^{i\theta}\)
• 極坐標形式：\(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\)

複數運算

• 複數加法：\((a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i\)
• 複數乘法：\((a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i\)
• 複數模長：\(\lvert z \rvert = \sqrt{a^2 + b^2}\)
• 複數共軛：\(\overline{z} = a - bi\)

複變函數

歐拉公式

\[e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta\]

棣莫弗定理

\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\]

複對數函數

\[\log z = \ln\lvert z \rvert + i(\arg z + 2\pi k), \quad k \in \mathbb{Z}\]

複變微積分

複導數

函數 \(f(z)\) 在點 \(z_0\) 處可微若 \[f’(z_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(z_0 + h) - f(z_0)}{h}\] 存在且有限。

柯西-黎曼方程

若 \(f(z) = u(x,y) + iv(x,y)\) 在 \(z = x + iy\) 處可微，則 \[\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y}, \quad \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x}\]

複積分

路徑積分

\[\int_C f(z) dz = \int_a^b f(z(t)) z’(t) dt\]

柯西積分定理

若 \(f(z)\) 在簡單閉曲線 \(C\) 及其內部解析，則 \[\oint_C f(z) dz = 0\]

柯西積分公式

\[f(z_0) = \frac{1}{2\pi i} \oint_C \frac{f(z)}{z - z_0} dz\]

冪級數與解析函數

泰勒級數

\[f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(z_0)}{n!}(z - z_0)^n\]

洛朗級數

\[f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n(z - z_0)^n\]

留數定理

留數計算

若 \(z_0\) 是 \(f(z)\) 的簡單極點，則 \[\text{Res}(f, z_0) = \lim_{z \to z_0} (z - z_0)f(z)\]

留數定理

\[\oint_C f(z) dz = 2\pi i \sum_{k} \text{Res}(f, z_k)\]

保形映射

雙線性變換

\[w = \frac{az + b}{cz + d}, \quad ad - bc \neq 0\]

約瑟夫森變換

將上半平面 \(\mathbb{H}\) 映射到單位圓盤： \[w = \frac{z - i}{z + i}\]