數學符號展示 (4)：統計學與機率論

本文展示統計學與機率論相關的數學符號渲染效果。

機率符號

基本機率

• 事件機率：\(P(A)\)
• 條件機率：\(P(A\mid B)\)
• 聯合機率：\(P(A \cap B)\)
• 邊際機率：\(P(A \cup B)\)

機率法則

• 加法法則：\(P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)\)
• 乘法法則：\(P(A \cap B) = P(A\mid B) \cdot P(B)\)
• 貝氏定理：\[P(A\mid B) = \frac{P(B\mid A) \cdot P(A)}{P(B)}\]

隨機變數

期望值

• 離散：\(E[X] = \sum_{i} x_i P(X = x_i)\)
• 連續：\(E[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) dx\)

變異數

\[\mathrm{Var}(X) = E[(X - \mu)^2] = E[X^2] - (E[X])^2\]

標準差：\[\sigma = \sqrt{\mathrm{Var}(X)}\]

常見分布

常態分布

\[f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\]

記號：\(X \sim N(\mu, \sigma^2)\)

二項分布

\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}\]

記號：\(X \sim B(n, p)\)

泊松分布

\[P(X = k) = \frac{\lambda^k e^{-\lambda}}{k!}\]

記號：\(X \sim \mathrm{Poisson}(\lambda)\)

統計推論

假設檢定

• 虛無假設：\(H_0\)
• 對立假設：\(H_1\) 或 \(H_a\)
• 檢定統計量：\(T\)
• p值：\(p\)-value

信賴區間

\[\mu \in \left[\bar{x} - z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}, \bar{x} + z_{\alpha/2}\frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\]

迴歸分析

簡單線性迴歸

\[Y = \beta_0 + \beta_1 X + \epsilon\]

最小平方估計： \[\hat{\beta_1} = \frac{\sum(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sum(x_i - \bar{x})^2}\]

決定係數

\[R^2 = 1 - \frac{SS_{\mathrm{res}}}{SS_{\mathrm{tot}}}\]

希臘字母在統計中的應用

• \(\alpha\)：顯著水準
• \(\beta\)：迴歸係數、第二型錯誤機率
• \(\gamma\)：偏態係數
• \(\delta\)：效應大小
• \(\epsilon\)：誤差項
• \(\theta\)：參數
• \(\lambda\)：特徵值、泊松參數
• \(\mu\)：母體平均數
• \(\sigma\)：母體標準差
• \(\rho\)：相關係數