數學符號展示 (3)：線性代數與向量
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本文展示線性代數與向量相關的數學符號渲染效果。
向量表示
向量記號
- 粗體：\(\mathbf{v}\)
- 箭頭：\(\vec{v}\)
- 分量形式：\(\mathbf{v} = \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \ v_3 \end{pmatrix}\)
向量運算
- 向量加法：\(\mathbf{u} + \mathbf{v}\)
- 純量乘法：\(c\mathbf{v}\)
- 點積：\(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \lvert\mathbf{u}\rvert\lvert\mathbf{v}\rvert\cos\theta\)
- 叉積：\(\mathbf{u} \times \mathbf{v}\)
向量長度
\[\lvert\mathbf{v}\rvert = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + v_3^2}\]
矩陣表示
矩陣記號
\[A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}
a_{21} & a_{22} & a_{23}
a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{pmatrix}\]
特殊矩陣
- 單位矩陣：\(I = \begin{pmatrix} 1 & 0 \ 0 & 1 \end{pmatrix}\)
- 零矩陣：\(O = \begin{pmatrix} 0 & 0 \ 0 & 0 \end{pmatrix}\)
矩陣運算
- 轉置：\(A^T\)
- 逆矩陣：\(A^{-1}\)
- 行列式：\(\det(A)\) 或 \(|A|\)
- 跡：\(\mathrm{tr}(A)\)
線性方程組
\[\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + a_{13}x_3 = b_1
a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + a_{23}x_3 = b_2
a_{31}x_1 + a_{32}x_2 + a_{33}x_3 = b_3 \end{cases}\]
矩陣形式：\[A\mathbf{x} = \mathbf{b}\]
特徵值與特徵向量
特徵值方程：\[A\mathbf{v} = \lambda\mathbf{v}\]
特徵多項式：\[\det(A - \lambda I) = 0\]
內積空間
內積：\[\langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle\]
正交性：\[\mathbf{u} \perp \mathbf{v} \iff \langle \mathbf{u}, \mathbf{v} \rangle = 0\]