數學符號展示 (2)：微積分與極限

本文展示微積分相關的數學符號渲染效果。

極限符號

基本極限

\[\lim_{x \to a} f(x) = L\]

無窮大極限

\[\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x} = 0\]

左右極限

• 右極限：\(\lim_{x \to a^+} f(x)\)
• 左極限：\(\lim_{x \to a^-} f(x)\)

導數符號

一階導數

• Leibniz 記號：\(\frac{dy}{dx}\)
• Lagrange 記號：\(f’(x)\)
• Newton 記號：\(\dot{y}\)

高階導數

• 二階導數：\(\frac{d^2y}{dx^2}\) 或 \(f’‘(x)\)
• n階導數：\(\frac{d^ny}{dx^n}\) 或 \(f^{(n)}(x)\)

偏導數

\[\frac{\partial f}{\partial x}, \quad \frac{\partial f}{\partial y}\]

積分符號

不定積分

\[\int f(x) \, dx = F(x) + C\]

定積分

\[\int_a^b f(x) \, dx\]

多重積分

• 二重積分：\(\displaystyle\iint_D f(x,y) \, dx \, dy\)
• 三重積分：\(\displaystyle\iiint_V f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz\)

線積分與面積分

• 線積分：\(\oint_C \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r}\)
• 面積分：\(\iint_S \mathbf{F} \cdot d\mathbf{S}\)

經典極限範例

\[\lim_{n \to \infty} \left(1 + \frac{1}{n}\right)^n = e\]

\[\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1\]